SMA169 - Equações Diferenciais Parciais
2022 |
data |
modalidade |
valor / peso |
Prova 1 |
11 de maio |
presencial |
peso 2 |
Prova 2 |
29 de junho |
presencial |
peso 3 |
Recuperação |
3 de agosto | presencial |
Durante as provas não será permitido o uso de calculadoras, notas, anotações, livros, celulares, etc...
Apresentar-se no dia da prova com um documento com foto.
As provas serão recuperadas só se o aluno justificar devidamente a falta na secretaria
IMPORTANTE! caso faltem numa prova pelos motivos acima, me mandem um e-mail o mais cedo possível para me avisar!
A matéria da prova de recuperação será a matéria toda desenvolvida no curso.
A prova de recuperação é reservada a quem tiver nota final entre 3.0 e 4.9 e pelo menos 70% da frequência (presente é quem, além de estar presente na hora da chamada, chega na hora, fica até o fim e não atrapalha a aula!!!)
NOTA: A folha de frequência é um documento oficial: quem for encontrado assinando no lugar de outro aluno será levado ao conselho de departamento que tomará as devidas providências!!
Onda e difusão em dimensão maior
distribuições e transformada de Fourier
Links desenhos interativos:
Sol. fund. calor
Sol. fund. calor - seções
simul. onda
simul. calor
reflexão onda
reflexão calor
exemplos sep.var
truncadas séries Fourier
função de green
onda 1d-3d
x
wiki - vibração corda
wiki - vibração tambor
wiki - átomo de idrogênio
ainda átomo de idrogênio
Fazer os exercícios propostos nas áulas
Rever os exercícios e as demonstrações feitas nas áulas.
Fazer os exercícios das listas.
Lista 1: Introduão (páginas do livro aqui )
Lista 2: Eq. de 1a ordem (páginas do livro aqui )
Lista 3: Classificação (páginas do livro aqui )
Lista 4: Onda e difusão (páginas do livro aqui )
Lista 5: Onda e difusão 2 (páginas do livro aqui )
Lista 6: Séries de Fourier
Lista 7: Laplaciano 1 (páginas do livro aqui )
Lista 8: Laplaciano 2 (páginas do livro aqui )
Lista 9: Laplaciano 3 (páginas do livro aqui )
Lista 10: Onda e difusão em dimensão maior (páginas do livro aqui )
Lista 11: distribuições e transformada de Fourier (páginas do livro aqui )
Video EDP introdução 1 (26:14):
Link ao vídeo
exemplos, multiíndices, tipos de não linearidade, princípio de sobreposição.
00:05 primeiros exemplos
02:10 notação de multiíndice
07:40 definição de EDP e de solução (clássica)
11:03 tipos de não linearidade
11:13 eq. linear
13:12 eq. semilinear
14:23 eq. quaselinear
15:37 eq. totalmente não linear
16:27 princípio de sobreposição<
br>19:44 mais sobre os exemplos
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Vídeo EDP introdução 2 (23:35):
Link ao vídeo
problemas bem postos, exemplos, separação de variáveis.
00:05 problema bem posto (Hadamard)
01:02 exemplo com EDO
04:20 alguns problemas para EDPs (val. iniciais, contorno)
05:58 motivação fisica
08:25 exercício - Separação de variáveis
10:43 o método de separação de variáveis (para EDP)
18:25 comentários sobre os resultados
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Vídeo EDP introdução 3 (23:08): Link ao vídeo exemplos simples: u_x=0 e u_xy=0. Comentários sobre problemas bem postos para estas equações. Teorema de
Cauchy-Kovalevski.
00:05 exemplos simples
00:05 u_x=0
05:27 u_xy=0
10:00 comentários sobre os resultados
10:47 balanço incógnitas relaçoes
15:40 dependência da solução de funções arbitrárias.
16:10 comparaçao com EDO: p. d. cauchy e de contorno
18:20 Teorema de Cauchy-Kovalevski (por cima)
Vídeo Eq. de primeira ordem 1 (26:48): Link ao vídeo
o método das características
00:05 resolução de casos simples.
00:05 resolvendo u_x=0, u_x=f, u_x=f(u).
01:35 resolvendo 3u_x+4u_y=0 (homog. a coef. const.)
04:40 cuidados com o dado: não caracteristicidade
05:42 resolvendo u_x+xu_y=0 (coef. variáveis)
07:38 introdução método das características
09:33 construção método das características
11:33 não caracteristicidade
15:36 curvas características
18:20 sistema caracteristico
19:15 cálculo da solução por eliminação dos parâmetros
19:38 comentários
21:36 o caso quaselinear
22:47 sistema caracteristico
23:30 curvas características no caso QL
24:45 cruzamento de características
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Vídeo Eq. de primeira ordem 2 (17:48): Link ao vídeo exercícios sobre o
método das características
00:05 3u_x+4u_5=u^2 (semilin. a coef. const.)
06:28 u_x+xu_y=y (linear a coef. variáveis)
12:36 uu_x+u_y=0 (quaselinear homogênea)
14:20 características dependendo do dado
15:40 cruzamento de características
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Vídeo Classificação (42:42): Link ao vídeo
classificação das eq. de segunda ordem
00:05 mudanças de variáveis
04:14 exemplo rotações
07:20 classificação de eq de 2a ordem em 2 variáveis (lineares)
11:15 classificação em ellípticas parabólicas ou hipérbólicas
13:13 resultado coef. const.
14:30 resultado geral
15:50 exemplos
19:11 método via álgebra linear
24:48 classificação de eq de 2a ordem em n variáveis (lineares)
26:35 classificação em ellípticas parabólicas ou hipérbólicas para n veriáveos
28:55 resultado coef. const. e variáveis
30:42 exemplos
34:46 classificação de eq de 2a ordem semilineares ou quaselineares.
38:07 exemplos
Video Minicurso Verão aula 4:
Link ao vídeo
:
assistir de 08:00 até 11:50 e depois de 13:25 até 30:45
08:00 lembrete Teor. fund. do cálculo / Teor do divergente / integração por partes
13:25 modelos físicos eq. da onda
13:25 vibrações longitudináis (varinha)
19:47 corda de guitarra
23:35 tambor
27:20 linearização de escoamento supersónico
28:45 campo eletrmagnético no vácuo
30:35 problema de valores iniciais
Errata: quando digo que $$\int_\Omega f=0$$ para todo $$\Omega$$ implica $$f=0$$ subentende que $$f$$ é contínua, caso contrário a implicação seria falsa!
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Vídeo Minicurso Verão aula 5:
Link ao vídeo
:
assistir de 05:15 até 22:32 e de 25:25 até 28:00
Errata:
13:40 deveria ser $$-\Delta u =f$$
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Vídeo Onda e difusão 1 (22:32): Link ao vídeo
tipos de problemas e energia.
00:05 introdução
00:24 equação da onda
01:45 equação do calor
02:21 problema de valores iniciais em Rn - onda
04:18 problema de valores iniciais em Rn - calor
05:28 problema misto - onda
07:38 problema misto - calor
08:00 significado físico, mais condições de fronteiras
14:36 energia em um limitado - onda
18:50 energia em um limitado - calor
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Vídeo Ondas e difusão 2 (21:27): Link ao vídeo
unicidade, cones de dependência.
00:05 Resumo energias
01:22 unicidade problema misto - onda
03:55 unicidade problema misto - calor
05:54 problemas em Rn
07:20 Problema em Rn - onda
07:25 cones do passado e do futuro
08:18 Teorema (dependência do cone do passado)
09:55 Prova do teorema
14:41 consequências do teorema
14:45 unicidade problema em Rn
15:57 depenência do cone do passado
18:10 velocidade finita das informações
19:10 Energia para soluções a suporto compacto
Vídeo Ondas e difusão 3 (38:42): Link ao vídeo
Solução IVP em R
00:05 Solução IVP onda homogênea em R.
00:44 método 1: variáveis características e substituição
01:30 método 2: via eq. de primeira ordem
07:20 fórmula final
08:10 fórmula de D'Alambert (caso homogêneo)
08:24 comentários sobre o resultado
08:30 regularidade
09:18 mais sobre relações de depenência dos dados
10:06 boa posição (existência e dep. cont. dos dados)
12:58 Solução IVP calor homogênea em R.
13:14 invariâncias da equação
14:40 busca para uma solução dependendo só de x^2/t (IVP degrau)
22:00 fórmula solução IVP degrau
22:40 solução para qualquer dado
26:18 fórmula solução IVP para qualquer dado
27:51 comentários sobre o resultado
28:03 propriedades e interpretação da solução fundamental psi
31:43 regularidade, relações de depenência dos dados
33:08 Comparação Onda Calor (IVP em R)
33:18 velocidade de propagação das informações (sol a sup. compacto)
34:15 transporte, dispersão, reversibilidade
35:09 regularidade
35:50 unicidade ecc.
37:14 exemplos (desenhos)
Vídeo Ondas e difusão 4 (22:41): Link ao vídeo
Solução IVP em semiretas/segmentos
00:05 Solução IVP em semiretas (método de reflexão).
01:18 extremo u=0
10:57 extremo u_x=0
15:35 Solução em intervalos
21:05 exemplo reflexão onda
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Vídeo Ondas e difusão 5 (15:20): Link ao vídeo
Solução IVP em R
00:05 Solução IVP com fonte - onda
00:15 Fórmula de D'Alambert completa
01:32 Prova
06:00 considerações
07:08 Solução IVP com fonte - calor
07:22 Fórmula solução
09:12 idéia da prova
12:14 considerações
13:10 problema na semireta com dato não zero.
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Vídeo Ondas e difusão 6 (32:38): Link ao vídeo
Princ. de máximo (calor) e Problema mixto via separação de variáveis
00:05 Princípiode máximo - calor
00:52 def. fronteira parabólica
03:10 enunciado do Princípio de máximo
04:28 prova
08:42 unicidade e dep. cont. dos dados
10:41 boa posição na fronteira parabólica
12:08 Problema mixto via separação de variáveis
12:25 desenvolvimento do método
17:10 solução caso onda (u=0 nos extremos)
19:35 soma ou série de trigonométricas como cond. inicial
23:10 caso calor
23:52 solução caso calor (u=0 nos extremos)
27:20 caso u_x=0 nos extremos
30:14 alguns exemplos.
Vídeo Séries de Fourier (22:41): Link ao vídeo
Solução IVP em semiretas/segmentos
00:17 conv. uniforme, test de Weiestrass
01:40 limite continuidade, integral e derivada de série
03:57 Séries de Fourier
04:00 hortogonalidade das funções trigonométricas
05:55 polinômio e série trigonométrica
06:27 Coeficientes da série: fórmulas de Euler Fourier
07:52 definição de Série de Fourier
09:33 Sf de função par, ímpar, descontínua,
10:47 f a quadrato integrável, base Hilbertiana
14:27 resultados de conv. pontual e uniforme.
19:41 exemplos
21:12 gráficos de aproximações
22:50 aplicação a eq. da onda e do calor.
25:20 a série obtida é solução?
27:04 justificação calor
28:45 justificação onda
30:37 conv. da série da solução e suas derivadas
Vídeo Laplaciano 1 (26:46): Link ao vídeo
Introdução, coordenadas polares, separ de var. fórmula de Poisson no círculo
00:05 Introdução Laplaciano
03:17 Laplaciano em coordenadas polares/esféricas e radial
05:37 dedução Laplaciano para função radial
07:34 Problema em um círculo
07:40 mud. var.
08:55 sep.var.
10:40 f. harmônicas nas var. rho theta separadas
11:55 análise via séries de Fourier
15:55 Solução do Problema de Dirichlet no círculo
20:16 fórmula de Poisson
22:27 Problema em um retângulo (exercício)
24:42 boa posição e série de Fourier (exercício)
Vídeo Laplaciano 2 (27:55): Link ao vídeo
Princípio de máximo, Identidades de Lagrange-Green, Princípio de Dirichlet
00:05 Princípio de máximo (de mínimo, fraco, forte)
00:48 exemplo 1d
04:48 enunciado
05:38 prova PdM fraco
09:15 consequências (unicidade, dep. contínua, sinal da sol.)
12:02 Identidades de Lagrange-Green
14:31 consequências (unicidade, cond. nec. Neumann)
18:51 Princípio de Dirichlet
20:15 justificação física
22:37 prova
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Vídeo Laplaciano 3 (24:34):
Link ao vídeo
Propriedade do valor médio, regularidade.
00:05 Propriedade do valor médio / sub e super harmônicas
01:13 teorema
02:52 exemplo 1d
04:24 prova
11:15 PdVM 2d da f. de Poisson
12:33 Prova PdM forte
16:40 PdVM implica regularidade
17:17 prova (molificadores)
22:34 regularidade via S. de Fourier ou via f. de Poisson
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Vídeo Laplaciano 4 (40:25): Link ao vídeo
Sol. fundamentais, Fun. de Green
00:05 Soluções fundamentais
00:48 cálculo
02:20 esboço
03:29 fórmula de representação
03:37 dedução
11:40 conclusão
12:44 soluções fundamentais - esboço - interbretação distribuições
14:19 comentário: ainda não temos fórmula de resolução
16:16 Função de Green
16:16 objetivo
16:42 construção
19:42 Teorema: fórmula de Green
20:56 f. de Green em dimensão 1
23:40 f. de Green em geometrias simples
23:50 f. de Green no semiespaço
30:57 f. de Green na bola
26:49 positividade e simetria da f. de Green
35:37 resumo semiespaço e bola
36:19 exemplos graficos
37:32 Fórmula de Poisson para bola e semiespaço
38:48 interpretação potencial eletrostático
Vídeo Onda e calor nd 1 (30:50): Link ao vídeo resolução da eq. da onda em
dimensão 2 e 3
00:05 Onda em dimensão n>1
01:02 dimensão n>1 ímpar (em particular n=3)
01:30 ferramentas: média esférica, propriedades,
07:33 equação para a média esférica de uma solução u
09:06 identidades diferenciáis (para o caso n=3)
10:15 equação em r e t
11:58 solução via D'Alambert
15:05 solução em dimensão 3: fórmula de Kirchhoff
17:28 caso n>3 ímpar
18:28 propriedades: perda de regularidade, princípio de Huygens
21:35 dimensão par (em particular n=2)
21:45 método de descida
23:10 cálculo da solução em dimensão 2
28:22 solução em dimensão 2: fórmula de Poisson
29:37 propriedades-comparação com outras dimensões
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Vídeo Onda e calor nd 2 (24:49): Link ao vídeo mais onda, exmplos, calor
00:05 solução eq. não homogênea (Duhamel)
03:55 resultados, comparação
04:57 mais comentários:
05:01 ex. unic. e dep. dos dados,
05:40 mais sobre Huygens, transmissão de sinais
08:50 exemplo bomba vs trovão: n=2 vs n=3
11:10 gráficos de propagação de ondas (n=1 e n=3)
18:30 Calor em dimensão n>1
23:00 Solução fundamental em dimensão n qualquer
23:48 solução para o problema do calor em dimensão n qualquer
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Vídeo Onda e calor nd 3 (13:11): Link ao vídeo autofunções e alguns problemas relacionados
00:05 Separação de variáveis t/x em dimensão maior
02:25 problema de autovalores
05:38 soluções como séries
03:49 autovalores e autofunções
06:42 hortogonalidade das autofunções
08:07 som do tambor
10:22 exemplos e visualizações
10:27 corda vibrante
10:43 tambor
11:40 átomo de hidrogênio
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Vídeo distribuições (25:21): Link ao vídeo
00:05 distribuições em R
01:45 definição
03:03 exemplos: funç. loc.integr, delta de Dirac
06:03 converg. fraca em D'; exemplo
08:16 derivada de distribuição
09:58 exemplos
12:37 distribuições em R^n
13:45 exemplo
15:04 distribuições em um conjuntos
15:55 exemplo
18:04 aplicações
18:08 Solução fundamental Laplaciano e função de Green
19:44 Solução fundamental do calor
20:33 análogo para onda
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Vídeo transformada de Fourier (35:03): Link ao vídeo
00:05 definição de transformada de Fourier
01:47 justificação (bem pro cima)
04:59 primeiras propriedades
05:41 transf. da funç. caract de [-1,1]
07:54 exemplos e propriedades
08:00 transf. da Gaussiana
12:02 transf. de e^{-a|x|}
13:23 transf. da derivada
15:02 translação - dilatação
16:45 definições mais gerais
18:14 transf. de delta, H, ...
22:01 transf. de convolução
24:02 Aplicações
24:04 Calor
28:58 Onda n=1
30:40 Laplaciano em semiplano