Vídeos do 2021:

Observação: disponibilizarei os vídeos do ano passado como ajuda, mas este ano o ensino é PRESENCIAL: eventuais erros, faltas ou diferenças nos vídeos com respeito ao feito na sala de aula não podem ser usados como justificação (por exemplo, este ano posso decidir usar notações diferentes, introduzir assuntos que não estão nos vídeos ou estudá-los mais em profundidade!)
PS para acessar o vídeo precisa estar logados no e-mail da usp.

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Video EDP introdução 1 (26:14):    Link ao vídeo    exemplos, multiíndices, tipos de não linearidade, princípio de sobreposição.

00:05 primeiros exemplos
02:10 notação de multiíndice
07:40 definição de EDP e de solução (clássica)
11:03 tipos de não linearidade
  11:13 eq. linear
  13:12 eq. semilinear
  14:23 eq. quaselinear
  15:37  eq. totalmente não linear
16:27  princípio de sobreposição< br>19:44  mais sobre os exemplos

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Vídeo EDP introdução 2 (23:35):    Link ao vídeo    problemas bem postos, exemplos, separação de variáveis.

00:05 problema bem posto  (Hadamard)
  01:02 exemplo com EDO
  04:20 alguns problemas para EDPs (val. iniciais, contorno)
  05:58 motivação fisica
08:25 exercício - Separação de variáveis
  10:43 o método de separação de variáveis (para EDP)
  18:25 comentários sobre os resultados

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 Vídeo EDP introdução 3 (23:08):   Link ao vídeo   exemplos simples: u_x=0 e u_xy=0. Comentários sobre problemas bem postos para estas equações. Teorema de Cauchy-Kovalevski.

00:05 exemplos simples
  00:05 u_x=0
  05:27 u_xy=0
  10:00 comentários sobre os resultados
    10:47 balanço incógnitas relaçoes
    15:40 dependência da solução de funções arbitrárias.
     16:10 comparaçao com EDO: p. d. cauchy e de contorno
18:20 Teorema de Cauchy-Kovalevski (por cima)

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Vídeo Eq. de primeira ordem 1 (26:48):  Link ao vídeo o método das características

00:05 resolução de casos simples.
 00:05 resolvendo u_x=0, u_x=f, u_x=f(u).
 01:35 resolvendo 3u_x+4u_y=0 (homog. a coef. const.)
 04:40 cuidados com o dado: não caracteristicidade
 05:42 resolvendo u_x+xu_y=0 (coef. variáveis)
07:38 introdução método das características
09:33 construção método das características
 11:33 não caracteristicidade
 15:36 curvas características 
 18:20 sistema caracteristico
 19:15 cálculo da solução por eliminação dos parâmetros
 19:38 comentários
 21:36 o caso quaselinear
  22:47 sistema caracteristico
  23:30 curvas características no caso QL
  24:45 cruzamento de características
  

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Vídeo Eq. de primeira ordem 2 (17:48): Link ao vídeo exercícios sobre o método das características

00:05 3u_x+4u_5=u^2   (semilin. a coef. const.)
06:28 u_x+xu_y=y (linear a coef. variáveis)
12:36 uu_x+u_y=0 (quaselinear homogênea)
 14:20 características dependendo do dado
 15:40 cruzamento de características

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Vídeo Classificação (42:42):  Link ao vídeo classificação das eq. de segunda ordem

00:05 mudanças de variáveis
 04:14 exemplo rotações
07:20  classificação de eq de 2a ordem em 2 variáveis (lineares)
 11:15 classificação em ellípticas parabólicas ou hipérbólicas
 13:13 resultado coef. const.
 14:30 resultado geral
 15:50 exemplos
19:11 método via álgebra linear
24:48 classificação de eq de 2a ordem em n variáveis (lineares)
 26:35 classificação em ellípticas parabólicas ou hipérbólicas para n veriáveos
 28:55 resultado coef. const. e variáveis
 30:42 exemplos
34:46 classificação de eq de 2a ordem semilineares ou quaselineares.
 38:07 exemplos

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Para modelagem, veja os trechos indicados dos vídeos do minicurso de verão

Video Minicurso Verão aula 4:    Link ao vídeo    :

assistir de 08:00 até 11:50 e depois de 13:25 até 30:45

08:00 lembrete Teor. fund. do cálculo / Teor do divergente / integração por partes
13:25 modelos físicos eq. da onda
  13:25 vibrações longitudináis (varinha)
  19:47 corda de guitarra
  23:35 tambor
  27:20 linearização de escoamento supersónico
  28:45 campo eletrmagnético no vácuo
  30:35 problema de valores iniciais

Errata: quando digo que $$\int_\Omega f=0$$ para todo $$\Omega$$ implica $$f=0$$ subentende que $$f$$ é contínua, caso contrário a implicação seria falsa!

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Vídeo Minicurso Verão aula 5:    Link ao vídeo    :

assistir de 05:15 até 22:32 e de 25:25 até 28:00 

05:15 modelos físicos eq. do calor
11:20 Laplaciano da eq. do calor estacionária
12:20 potencial de um campo irrotacional
13:55 campo eletrostático
14:40 escoamento irrotacional e incompressíel
16:10 Tipos de problemas (Laplaciano)
  16:40 Dirichlet
  18:40 Neumann
  20:45 Robin
  21:45 Problema exterior
25:25 aplicação estocastica - moto Browniano

Errata:
13:40 deveria ser $$-\Delta u =f$$

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Vídeo Onda e difusão 1 (22:32):  Link ao vídeo tipos de problemas e energia.

00:05 introdução
  00:24 equação da onda
  01:45 equação do calor
02:21 problema de valores iniciais em Rn - onda
04:18 problema de valores iniciais em Rn - calor
05:28 problema misto - onda
07:38 problema misto - calor
08:00 significado físico, mais condições de fronteiras
14:36  energia em um limitado - onda
18:50  energia em um limitado - calor


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 Vídeo Ondas e difusão 2 (21:27):  Link ao vídeo unicidade, cones de dependência.

00:05 Resumo energias
01:22 unicidade problema misto - onda
03:55 unicidade problema misto - calor
05:54 problemas em Rn
07:20 Problema em Rn - onda
  07:25 cones do passado e do futuro
  08:18 Teorema (dependência do cone do passado)
  09:55 Prova do teorema 
  14:41 consequências do teorema
     14:45 unicidade problema em Rn
     15:57 depenência do cone do passado
     18:10 velocidade finita das informações
     19:10 Energia para soluções a suporto compacto

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Vídeo Ondas e difusão 3 (38:42):  Link ao vídeo Solução IVP em R

00:05 Solução IVP onda homogênea em R.
  00:44 método 1: variáveis características e substituição
  01:30 método 2: via eq. de primeira ordem
  07:20 fórmula final
  08:10 fórmula de D'Alambert (caso homogêneo)
  08:24 comentários sobre o resultado
    08:30 regularidade
    09:18 mais sobre relações de depenência dos dados
    10:06 boa posição (existência e dep. cont. dos dados)
12:58 Solução IVP calor homogênea em R.
  13:14 invariâncias da equação
  14:40 busca para uma solução dependendo só de x^2/t (IVP degrau)
  22:00 fórmula solução IVP degrau
  22:40 solução para qualquer dado
  26:18 fórmula solução IVP para qualquer dado
  27:51 comentários sobre o resultado
    28:03 propriedades e interpretação da solução fundamental psi
    31:43 regularidade, relações de depenência dos dados
33:08 Comparação Onda Calor (IVP em R)  
  33:18 velocidade de propagação das informações (sol a sup. compacto)
  34:15 transporte, dispersão, reversibilidade
  35:09 regularidade
  35:50 unicidade ecc.
  37:14 exemplos (desenhos)

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Vídeo Ondas e difusão 4 (22:41): Link ao vídeo Solução IVP em semiretas/segmentos

00:05 Solução IVP em semiretas (método de reflexão).
 01:18 extremo u=0
 10:57 extremo u_x=0
15:35 Solução em intervalos
21:05 exemplo reflexão onda

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Vídeo Ondas e difusão 5 (15:20): Link ao vídeo Solução IVP em R

00:05 Solução IVP com fonte - onda
 00:15 Fórmula de D'Alambert completa
  01:32 Prova
  06:00 considerações
07:08 Solução IVP com fonte - calor
 07:22 Fórmula solução
  09:12 idéia da prova
  12:14 considerações
13:10 problema na semireta com dato não zero.

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Vídeo Ondas e difusão 6 (32:38): Link ao vídeo Princ. de máximo (calor) e Problema mixto via separação de variáveis

00:05 Princípiode máximo - calor
 00:52 def. fronteira parabólica
 03:10 enunciado do Princípio de máximo
 04:28 prova
 08:42 unicidade e dep. cont. dos dados
 10:41 boa posição na fronteira parabólica
12:08 Problema mixto via separação de variáveis
 12:25 desenvolvimento do método
 17:10 solução caso onda (u=0 nos extremos)
  19:35 soma ou série de trigonométricas como cond. inicial
 23:10 caso calor
  23:52 solução caso calor (u=0 nos extremos)
 27:20 caso u_x=0 nos extremos
30:14 alguns exemplos.

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Vídeo Séries de Fourier (22:41): Link ao vídeo Solução IVP em semiretas/segmentos

00:17 conv. uniforme, test de Weiestrass
01:40 limite continuidade, integral e derivada de série
03:57 Séries de Fourier
 04:00 hortogonalidade das funções trigonométricas
 05:55 polinômio e série trigonométrica
 06:27 Coeficientes da série: fórmulas de Euler Fourier
 07:52 definição de Série de Fourier
 09:33 Sf de função par, ímpar, descontínua,
 10:47 f a quadrato integrável, base Hilbertiana
 14:27 resultados de conv. pontual e uniforme.
 19:41 exemplos
 21:12 gráficos de aproximações
22:50 aplicação a eq. da onda e do calor.
 25:20 a série obtida é solução?
  27:04 justificação calor
  28:45 justificação onda
  30:37 conv. da série da solução e suas derivadas
 

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Vídeo Laplaciano 1  (26:46): Link ao vídeo Introdução, coordenadas polares, separ de var. fórmula de Poisson no círculo

00:05 Introdução Laplaciano
03:17 Laplaciano em coordenadas polares/esféricas e  radial
  05:37 dedução Laplaciano para função radial
07:34 Problema em um círculo
  07:40 mud. var.
  08:55 sep.var.
  10:40 f. harmônicas nas var. rho theta separadas  
  11:55 análise via séries de Fourier
  15:55 Solução do Problema de Dirichlet no círculo
  20:16 fórmula de Poisson
22:27 Problema em um retângulo (exercício)
  24:42 boa posição e série de Fourier (exercício)
 

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Vídeo Laplaciano 2  (27:55): Link ao vídeo Princípio de máximo, Identidades de Lagrange-Green, Princípio de Dirichlet

00:05 Princípio de máximo (de mínimo, fraco, forte)
  00:48 exemplo 1d
  04:48 enunciado
  05:38 prova PdM fraco
  09:15 consequências (unicidade, dep. contínua, sinal da sol.)
12:02 Identidades de Lagrange-Green
  14:31 consequências (unicidade, cond. nec. Neumann)
18:51 Princípio de Dirichlet
  20:15 justificação física
  22:37 prova
 

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Vídeo Laplaciano 3  (24:34): Link ao vídeo Propriedade do valor médio, regularidade.

00:05 Propriedade do valor médio / sub e super harmônicas  
  01:13 teorema
  02:52 exemplo 1d
  04:24 prova
  11:15 PdVM 2d da f. de Poisson
12:33 Prova PdM forte
16:40 PdVM implica regularidade
  17:17 prova (molificadores)
  22:34 regularidade via S. de Fourier ou via f. de Poisson
 


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Vídeo Laplaciano 4  (40:25): Link ao vídeo Sol. fundamentais, Fun. de Green

00:05 Soluções fundamentais
 00:48 cálculo
 02:20 esboço
03:29 fórmula de representação
 03:37 dedução
 11:40 conclusão
 12:44 soluções fundamentais - esboço - interbretação distribuições
 14:19 comentário: ainda não temos fórmula de resolução
16:16 Função de Green
 16:16 objetivo
 16:42 construção
 19:42 Teorema: fórmula de Green
 20:56 f. de Green em dimensão 1
 23:40 f. de Green em geometrias simples
  23:50 f. de Green no semiespaço
  30:57 f. de Green na bola
 26:49 positividade e simetria da f. de Green
 35:37 resumo semiespaço e bola
 36:19 exemplos graficos
 37:32 Fórmula de Poisson para bola e semiespaço
38:48 interpretação potencial eletrostático
 

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Vídeo Onda e calor nd 1  (30:50): Link ao vídeo resolução da eq. da onda em dimensão 2 e 3

00:05 Onda em dimensão n>1
 01:02 dimensão n>1 ímpar (em particular n=3)
  01:30 ferramentas: média esférica, propriedades,
  07:33 equação para a média esférica de uma solução u
  09:06 identidades diferenciáis (para o caso n=3)
  10:15 equação em r e t
   11:58 solução via D'Alambert
  15:05 solução em dimensão 3: fórmula de Kirchhoff
  17:28 caso n>3 ímpar
  18:28 propriedades: perda de regularidade, princípio de Huygens
 21:35 dimensão par (em particular n=2)
  21:45 método de descida
  23:10 cálculo da solução em dimensão 2
  28:22 solução em dimensão 2: fórmula de Poisson
  29:37 propriedades-comparação com outras dimensões
 

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Vídeo Onda e calor nd 2   (24:49): Link ao vídeo mais onda, exmplos, calor

00:05 solução eq. não homogênea (Duhamel)
 03:55 resultados, comparação
 04:57 mais comentários:
  05:01 ex. unic. e dep. dos dados,
  05:40 mais sobre Huygens, transmissão de sinais
  08:50 exemplo bomba vs trovão: n=2 vs n=3
 11:10 gráficos de propagação de ondas (n=1 e n=3)
18:30 Calor em dimensão n>1
 23:00 Solução fundamental em dimensão n qualquer
 23:48 solução para o problema do calor em dimensão n qualquer

 
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Vídeo Onda e calor nd 3 (13:11):   Link ao vídeo autofunções e alguns problemas relacionados

00:05 Separação de variáveis t/x em dimensão maior
02:25 problema de autovalores
 05:38 soluções como séries
 03:49 autovalores e autofunções
 06:42 hortogonalidade das autofunções
08:07 som do tambor
10:22 exemplos e visualizações
 10:27 corda vibrante
 10:43 tambor
 11:40 átomo de hidrogênio


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Vídeo distribuições  (25:21): Link ao vídeo

00:05 distribuições em R
 01:45 definição
 03:03 exemplos: funç. loc.integr, delta de Dirac
 06:03 converg. fraca em D'; exemplo
 08:16 derivada de distribuição
  09:58 exemplos
12:37 distribuições em R^n
 13:45 exemplo
15:04 distribuições em um conjuntos
 15:55 exemplo
18:04 aplicações
 18:08 Solução fundamental Laplaciano e função de Green
 19:44 Solução fundamental do calor
 20:33 análogo para onda
 
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Vídeo transformada de Fourier  (35:03): Link ao vídeo

00:05 definição de transformada de Fourier
01:47 justificação (bem pro cima)
04:59 primeiras propriedades
 05:41 transf. da funç. caract de [-1,1]
07:54 exemplos e propriedades
 08:00 transf. da Gaussiana
 12:02 transf. de e^{-a|x|}
 13:23 transf. da derivada
 15:02 translação - dilatação
16:45 definições mais gerais
18:14 transf. de delta, H, ...
22:01 transf. de convolução
24:02 Aplicações
 24:04 Calor
 28:58 Onda n=1
 30:40 Laplaciano em semiplano