Dada uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ (em geral nem precisa ser contínua) vamos seguir a ideia de estimar área abaixo do gráfico por soma das áreas de retângulos. Considere uma partição (um mesh, ou discretização em linguagem comptacional) do intervalo $ [a, b] $ por $ n+1 $ pontos $ x_0=a < x_1 < \cdots < x_n=b $ em cada intervalo $ [x_{i-1}, x_i] $ escolhemos um ponto arbitrário $ x_i^{*} \in [x_{i-1}, x_i] $ e consideramos a seguinte soma de Riemann:

$ \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*). $

O que significa essa soma?

Ela é a soma das “áreas” de retângulos com larguras $ [x_{i-1}, x_i] $ e altura $ f(x_i^*) $ . Usamos aspas, pois dependendo do sinal de $f(x_i^*) $ estaremos contando área negativa ou positiva.

Essa soma pode ser considerada como uma aproximação da área (com sinal) abaixo do gráfico da função f entre a, b. (Lembre que no exemplo da parábola, para obter estimativa superior para área escolhemos $ x_i^* = x_i $ e para estimativa inferior usamos $ x_i^* = x_{i-1}. $)

Claro que agora vamos fazer aproximações melhores e melhores. Isto tem certo custo, pois precisamos considerar partições cada vez mais finas, i.e diminuindo $ x_i - x_{i-1} $ aumentando $ n $.

Se tivermos sorte, a medida que refinamos a partição por pontos $ x_i $ essas somas de Riemann aproximam a um certo valor (sim, existe uma semelhança com noção de limite!) e este valor é denotado por (integral definida)

$ \int_{a}^{b} f(x) dx $

Por enquanto não vamos se preocupar com a existência de $ dx $ e apenas vamos considerar como um elemento decorativo. De fato poderíamos até escrever $ \int_{a}^{b} f(x) $ e “todo mundo” entenderia o que estamos calculando.

Observe que o símbolo $ \int $ é uma forma evoluída do símbolo $ \Sigma $.

Agora vamos falar sério! Vamos ver porque tanto gostamos das funções contínuas:

Teorema: Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua, então existe um único número $ I $ tal que para qualquer $ \epsilon > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que para qualquer partição com mesh menor do que $ \delta $ para qualquer escolha de $ x_i^*$ temos

$ |\sum_{i=1}^{n} (x_i -x_{i-1}) f(x_i^*) - I| \leq \epsilon $

e este número $ I $ é denotado por $ \int_{a}^{b} f$

Exemplo 0: Considere a função constante $ f$ tal que $f(x)=c $ no intervalo $ [a,b]. $ Vamos mostrar que $ \int_{a}^{b} f = c(b-a). $

Considerando qualquer partição, a soma de Riemann vai ser o mesmo valor! Por efeito,

$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-x_{i-1}) f(x_i^*) =  \sum_{i=1}^{n} (x_i-x_{i-1}) c $

$ = c (\sum_{i=1}^{n} (x_i-x_{i-1})) = c(b-a). $

Como mencionamos acima, se $ f$ for uma função contínua, então a integral desta função num intervalo $ [a,b]$ é bem definida e é um número real. Porém, para ter integral, nõa precisamos de continuidade. Ou seja, as vezes temos sorte e as somas de Riemann convergem a um valor fixo que será chamado de integral da função. Porém nem toda função tem integral.

Exemplo: (Uma Função contínua por pedaços)

Uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua por pedaços, se existir

$ a=c_0 < c_1 < \cdots < c_n=b $

tais que

A restrição da $ f$ a cada intervalo aberto $ (c_{i-1}, c_i)$ é contínua. $ \lim_{x \rightarrow c_i^{-}} f(x) $ existe para todo $ i=1,2,\cdots n $ e $ \lim_{x \rightarrow c_i^{+}} f(x) $ existe para todo $ i=0,2, \cdots, n-1 $

Um exemplo de função contínua por pedaço é:  $ f: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ e $ f(x) = [x]. $ Claro que essa função  é contínua exceto no ponto $ x=1 $ e os limites laterais neste ponto existem como exigimos na definição das funções contínua por pedaço.

Vamos verificar que $ \int_{0}^{2} [x] dx = 1. $

Considere partição $ x_0=0 <  x_1 < x_2 \cdots x_n=2 $ e $ x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]. $ Seja $ m $ tal que $ x_m \leq 1 < x_{m+1}. $  Vamos calcular a soma de Riemann correspondente:

$ \sum (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*) $

$ \sum_{i=1}^{m} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*) +  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + \sum_{i=m+1}^{n} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*)$

$=  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + (2-x_{m+1}) $

Quando o diametro da partição converge a zero, a soma de Riemann acima converge a 1. Por efeito, $ x_{m+1}- x_m \rightarrow 0, 0 \leq f(x_m) \leq 1 $ e $ x_{m+1} \rightarrow 1. $

Observação: Pode se mostrar que toda função contínua por pedaço tem integral definida.

Exercício: Mostre que a função $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ definida por

$ f(x)=0, x \in \mathbb{Q}, f(x)=1, x \notin \mathbb{Q} $  não tem integral!

Ok, mesmo quando a função é contínua, para calcular integral dela num intervalo não é prático sempre calcular um limite de todas as possíveis somas de Riemann! O Teorema fundamental de Cálculo será nosso aliado. 

Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Fixamos um ponto $ a \in I$ e definimos

$ F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt  $

Então $ F $ é diferenciável e $ F^{'}=f. $  (veja página notação diferencial)

Corolário Fundamental:  Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Suponhamos $ \phi $ é uma primitiva para $ f $, i.e $ \phi^{'}=f $, então

$ \int_{a}^{b} f = \phi(b) - \phi(a). $

Demonstração: Considere $ g(x)=\int_{a}^{x} f(x).  $ Então, pelo teorema Fundamental $ g^{'}(x)=f(x) $, ou seja $ g $ é uma primitiva de $ f. $ Portanto (veja comentário abaixo) $ g(x) = \phi(x)+K $. Já que  $ g(a)=0,  $ então $ 0=\phi(a) + K $ e ai temos

$ K = -\phi(a). $

Consequentemente, $ g(b)=\phi(b) - \phi(a) $ que implica pela definição da função $ g $:

$ \int_{a}^{b} f(x) = \phi(b)-\phi(a). $

Comentário: Considerando $ f $ como corolário acima, existem infinitas primitivas para ela. Seja $ \psi = \phi + K $ onde $ K $ é um número constante, então, $ \psi^{'} = \phi^{'} = f. $ Entretanto observamos que dadas duas primitivas como $ \phi_1, \phi_2 $ então necessáriamente elas se diferem numa função constante. Por efeito, $ \phi_1^{'} - \phi_2^{'} = 0 $ e agora lembramos de cálculo 1 que se uma função tem derivada zero, então ela é constante.

O comentário acima pode ser aplicada de seguinte forma: No corolário fundamental, o valor $\int_{a}^{b} f $ não depende da escolha da primitiva, pois simplesmente para outra primitiva $ \psi = \phi + K $ temos

$\psi(b) - \psi(a) = \phi(b)+K - (\phi(a) + K) = \phi(b) - \phi(a)$

Existe uma versão mais forte do corolário acima (sem assumir a continuidade da função dentro de integral) que é chamado de teorema fundamental de cálculo (versão 2.0):

Seja $ I$ um intervalo e $ F: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável cuja derivada $ F^{'}$ é integrável no intervalo $ [a, b] \subset I. $ Então:

$  \int_{a}^{b} F^{'} = F(b)-F(a).$

Momento de felicidade:

Este corolário demonstra o poder do Teorema Fundamental de Cálculo. Percebemos que a partir de agora para calcular integral de uma função contínua num intervalo, basta acharmos uma primitiva para ela.

Conseguimos (com esforço de Newton e Leibniz) “reduzir” o esforço de trabalhar com infinitas aproximações e métodos exaustivos `a achar primitiva para funções!

Num certo sentido, vamos pedir o poder de álgebra: Para calcular primitiva das funções muitas vezes usamos métodos algébricos. A felicidade é incontrolável…. Até que precisemos de fato calcular primitivas e colocar mão na massa!!

Integral indefinida (veja página alitahzibi.wordpress.com/calculo-2/primitivas-primitivos/notacao-diferencial/ para ter aprender cuidados necessários!):

Geralmente usamos a notação $ \int f $ sem determinar valores $ a, b.$ para denotar todas as primitivas da função $ f $.

Exemplos:

$ \int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + K, n \neq -1 $ e $ \int \frac{1}{x} = ln(x) + K. $

Outras funções com primitivas “óbvias”:

$ \int e^x = e^x + K. $

Essa até tem uma piada envolvida: Na festa das funções, a função seno encontro função exponencial sozinha num canto e tenta dar um conselho: Você tá muito sozinha, vem se integrar. 

Não vai mudar em nada, retruca função exponencial! 

Bem, falando das funções trigonométricas:

$ \int sen(x) = -cos(x) + K, \int cos(x) = sen(x) + K. $

$ \int sec^2(x) = \int 1+tg^2(x) = tg(x) + K$

(nas próximas páginas aprendemos alguns métodos para achar primitivas)

Teorema valor médio para integral: Seja $ f $ uma função contínua definida em $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que

$ \int_{a}^{b} f(t )dt = f(c) (b-a).$

$ f(c) $ é chamado de valor médio de $ f $ no intervalo $ [a,b]. $

Demonstração: Pelo teorema de Weierstrass existe $ m \leq M $ que sõa mínimo e máximo da função $ f$. Portanto

$ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(t)dt \leq M(b-a) $ e portanto

$ m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)dt \leq M $

Agora pelo teorema valor intermediário das funções contínuas, existe $ c \in [a,b] $ tal que:

$ f(c)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)dt. $

Interpretação geométrica:

Seja $ f$ uma função contínua e positiva definida no intervlao $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que a área abaixo do gráfico coincide com área do retângulo de altura $ f(c) $ e base $ [a,b]. $

Definição: Quando $ a>b $ definimos $ \int_{a}^{b} f(t)dt = - \int_{b}^{a} f(t)dt $ e definimos $ \int_{a}^{a} f(t) dt=0. $

Assim para quaisquer $ a, b, c \in \mathbb{R} $ temos

$ \int_{a}^{b} f(t)dt= \int_{a}^{c} f(t)dt + \int_{c}^{b} f(t)dt. $

E finalmente é bom ressaltar outra propriedade de integral definida (linearidade) dados números reais $ a, b, c_1, c_2 $ temos:

$ \int_{a}^{b} (c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t)) dt = c_1 \int_{a}^{b} f_1(t) + c_c \int_{a}^{b} f_2(t)dt.  $

Para demonstrar essa propriedade usamos aproximação da integral por somas de Riemann.