Seja $ S \subset \mathbb{R}^n. $ queremos trabalhar com funções cujo domínio é $ S $ e contra domínio $ \mathbb{R}^m. $

Se $ n=1 $ estamos falando de curvas. Se $ m=1 $ então temos uma função que atribui a cada vetor (pontos de $ \mathbb{R}^n$) um número real. Chamamos essas funções, de funções reais.

Uma função $ f : S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ pode ser escrita como $ m $ funções de $ \mathbb{R}^n$ em $ \mathbb{R}.$

$ f(x_1, \cdots, x_n) = (f_1(x_1, \cdots, x_n), f_2(x_1, \cdots, x_n), \cdots , f_m(x_1, \cdots, x_n)). $

O gráfico de uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é de grande utilidade para compreender a função. Caso das curvas o traço da curva tem informações geométricas. Observem que o gráfico de uma curva não é o traço dela. O gráfico de uma função $ f: X \rightarrow Y$ é dado por conjunto de pontos $ (x, y) : y = f(x) $ e portanto o gráfico de uma curva em $ \mathbb{R}^n $ é um subconjunto de $ \mathbb{R}^{n+1}!$

Exemplo: Qual é o gráfico da função $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} , f(x, y)= x^2 + y^2 $

Por definição o gráfico é $ \{ (x, y, z) : z = f(x, y)\} $ ou seja $ (x, y, z): z=x^2+y^2 $ e sabemos que este objeto é paraboloide.

Vamos conhecer alguns outros objetos geométricos atrelados as funções reais $ f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}.$

Analisar imagens de subconjuntos:

Uma outra forma de analisar uma função geometricamente, é achar a imagem de alguns subconjuntos de domínio. Vamos explicar isto com um exemplo. Este método geralmente é útil quando $ m=n, n \leq 3. $

Exemplo: Considere $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, f(x, y)=(xcos(y), xsen(y)). $ É impossível imaginar o gráfico desta função, já que mora no espaço $ \mathbb{R}^4. $ Porém, vamos considerar alguns subconjuntos específicos do domínio e ver o que a função faz com eles!

Primeiramente é conveniente utilizar outras variáveis para imagem da função:

$ u = x cos(y), v= x sen(y). $

Agora vamos considerar subconjuntos simples como retas, círculos… e verificar qual é sua imagem.

Considere retas verticais e horizintais: $ x=a $ e $ y=b. $ Vamos ver qual é a imagem deles no plano $ (u, v). $

A imagem da reta vertical $ x=a $ é círculo $ u^2 + v^2 = a^2. $ Observe que ambas enquanto um ponto varia nesta reta (variando $ y $ para pontos nesta reta $ (a, y) $) a imagem do ponto percorre o círculo infinitas vezes. Por outro lado a imagem da reta $ x=-a $ também é a mesma circunferência: centro na orígem do plano $ (u, v) $ e raio $ |a|. $

Qual é imagem das retas horizontais? Verifiquem que a imagem da reta $ y=b $ é uma reta que passa pela orígem com equação $ sen(b) u - cos(b) v = 0. $

Agora para exercicio vamos ver qual é imagem de figura H formada por retas $ x=1, x=-1 $ e segmento $ (x, 0): -1 \leq x \leq 1. $

Resposta: A imagem é um círculo com diâmetro dele.

Qual é imagem de um retângulo com lados paralelos aos eixos $ x, y? $

Conjunto de Nível

Quando estudamos funções lineares, já encontramos conjuntos de nível. Se $ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} $ é uma função linear. Então para um $ c \in \mathbb{R}$ na imagem desta função, o conjunto $ \{ (x, y, z) : f(x,y,z)=c \} $ é um conjunto de nível que neste caso é um plano.

Em geral dada uma função $ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ e $ c \in \mathbb{R}^m $ e pertencente a imagem da função, então $ f^{-1}(c) = \{ (x, y, z) : f(x, y, z) = c\} $ é o conjunto nível ($ c $) da função $ f. $

Se escrevermos $ f=(f_1, f_2,\cdots, f_m) $ então para $ c=(c_1, \cdots, c_m) $ temos que

$ f^{-1}(c)= f_1^{-1}(c_1) \cap \cdots \cap f_m^{-1}(c_m) $

onde$ f_i^{-1}(c_i) $ é o conjunto de nível da função $ f_i : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. $

Os conjuntos de nível das funções lineares são muito bem compreendidas. Por exemplo todo conjunto de nível tem a mesma dimensão e são paralelos.

Exemplo: considere $ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2.$ Então para todo $ c > 0$ o conjunto nível $ c $ é uma esfera de raio $ \sqrt{c} $ e para $ c=0 $ o conjunto nível é um ponto, apenas orígem.

SIM, vês está correta(o) quando pensa que os conjuntos de nível de uma função particionam todo o domínio da função em subconjuntos distintos e parece que o domínio fica folheado por conjuntos de nível! Na matemática, na teoria de topologia diferencial aprende essa folheação de uma forma profunda.

Exercício: Considere $ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definida como $ f(x, y, z) = (z, x^2+y^2+z^2). $ Dado $ c= (c_1, c_2) $, qual é o conjunto de nível c?