Considere uma barra fina não necessariamente homogênea. Alinhamos a barra no eixo $ x $ tal que coincida com intervalo $ [a, b]. $ Podemos medir massa de cada pedaço da barra e denotamos por $ M(x) $ a massa do pedaço no intervalo $ [a, x]. $ Claro que $ M $ é uma função crescente e $ M(a)=0, $ $ M(b) $ é a massa total da barra.

A media da massa no intervalo $ [x, x+h] $ é dada por $ \frac{M(x+h)-M(x)}{h}. $ Agora se diminuirmos $ h $ e a função $ M $ for diferenciável a densidade da massa no ponto $ x $ será revelada por

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{M(x+h)-M(x)}{h}= \mu(x). $

O centro da massa da barra será o ponto

$ \bar{x}:= \frac{\int_{a}^{b} x \mu(x)}{\int_{a}^{b} \mu(x)}. $(*)

Observe que o denominador é exatamente a massa total da barra (pelo teorema fundamental de cálculo, $ \int_{a}^{b} \mu(x) dx = M(b)-M(a)=M(b). $)

o que significa o numerador da fração (*)?

Vamos considerar um caso especial, onde a barra tem massa homogênea, $ \mu $ uma função constante. Portanto

$ \int_{a}^{b} x \mu dx = \mu \int_{a}^{b} x dx = \mu (\frac{1}{2}x^2)_{a}^{b}= \frac{1}{2} (b-a) (\frac{a+b}{2}). $

Observe que $ \mu (b-a) $ é a massa total da barra e $ \frac{a+b}{2} $ é o ponto médio. Neste caso, o centro da massa $ \bar{x} = \frac{a+b}{2} $ é o ponto médio que era esperado.

Exercício: Seja $ \mu $ uma função contínua e densidade da barra representada por intervalo $ [a,b]. $ Seja $ \bar{x} $ centro da massa. Então mostre que

$ \int_{a}^{\bar{x}} (\bar{x}-x) \mu(x) dx = \int_{\bar{x}}^{b} (x - \bar{x}) \mu(x) dx. $

Observe que o integrando do lado esquerdo é produto da densidade num ponto do ado esquerdo por sua distância até centro da massa. similarmente para lado direito.

Essa igualdade é a base da lei física de equilíbrio no centro da massa.

Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado(valor) depende de fatores aleatórios. Um exemplo é o resultado do lançamento de um dado que pode dar qualquer número entre 1 e 6. Embora possamos conhecer os seus possíveis resultados, o resultado em si depende de fatores de sorte (álea).

Outra variável aleatória é a altura de uma pessoa, em que o conjunto das pode ser toda população brasileira $ B $ e a cada $ x \in B $ o valor da variável é denotado por $ A(x) \in \mathbb{R}. $ Portanto uma variável aleatória em princípio é uma função.

Para ilustrar a distribuição de valores diferentes de uma variável aleatório como $ A $ (altura) vamos supor que $ A(x) \in [a, b] $ e dividimos o intervalo $ [a, b] $ em $ n $ partes

$ a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b $

e sobre cada segmento $ [x_{i-1}, x_i] $ consideramos um retângulo com altura igual (ou proporcional) ao número das pessoas cuja altura está no intervalo $ [x_{i-1}, x_i] $, i.e $ \{x | A(x) \in [x_{i-1}, x_i]\}. $

A medida que refinamos a partição do intervalo $ [a, b] $ obteremos informações com mais qualidade (mais detalhada) sobre distribuição de altura da população.

Claramente estes gráfico são de tipo escada e em geral para aplicar teoria de funções, aproximamos por funções suaves.

Função de distribuição e densidade de probabilidade:

Se normalizarmos a variável (dividindo número total de cada faixa de altura por população total ) podemos falar de duas funções

Função de densidade: $ f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $ tal que $ f(x) \geq 0 $ e $ \int_{a}^{b} f(t)dt =1 $ Função de distribuição: $ F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt $ representa a probabilidade de altura de uma pessoa esteja menor do que $ x. $

Como no caso da densidade de massa, a função densidade é muito importante.

Definimos a esperança ou média de uma variável aleatória como

$ \mu(A) = \int_{a}^{b} t f(t) dt $

Entendemos essa média como uma versão contínua da média aritmética de uma sequência numérica.

De fato essa noção é parecida com centro da massa, pois aqui $ \int_{a}^{b} f(t) dt =1. $

Suponhamos $ f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $ duas funções contínuas e

$ f(x) \geq g(x), x \in [a,b]. $

Queremos calcular a área da região delimitada entre os gráficos delas e retas verticais $ x=a, x=b. $

Basta observar que se acrescentarmos a ambas as funções um mesmo valor constante $ C $, i.e considerarmos duas novas funções $ f+C, g+C $ a região delimitada correspondente tem a mesma área.

Vamos escolher $ C $ grande suficiente tal que $ f + C \geq 0, g+C \geq 0 $ e assim podemos ver que a área desejada é:

$ \int_{a}^{b} f(x) + C dx - \int_{a}^{b} g(x) + C dx $

$ = \int_{a}^{b} (f(x) -g(x)) dx. $ Portanto se $ F-G $ é uma primitiva para $ f-g $, a área desejada é $ (F-G)_{a}^{b} = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)). $

Exemplo: calcule a área da região entre gráficos de $ f(x)=x $ e $ g(x)=x^2-x $.

Observe que os dois gráficos se intersectam: se $ x^2-x=x $ temos $ x=0, 2. $ Portanto a área entre os gráficos é:

$ \int_{0}^{2} x - (x^2 -x) dx = (x^2 - \frac{1}{3}x^3)_{0}^{2}= $

$ 4 - \frac{8}{3}= \frac{4}{3}. $

Até agora calculamos áreas correspondentes `as funções cujo domínio era um subconjunto do eixo $ x. $ Porém eixo $ x $ não tem nada de especial. Em cada problema podemos escolher um eixo específico e comprimento dos segmentos ortogonais a este eixo serão densidade da área. Por exemplo, calculamos área delimitada entre eixo $ x, $ eixo $ y $, reta $ y=3 $ e parábola $ y^2 - 2y -x+2=0. $.

O jeito mais fácil de calcular essa área é considerar a curva como gráfico de $ g $ tal que $ g(y)= y^2-2y+2 $. Aqui a densidade da área é comprimento de segmentos horizontais correspondente a cada $ y $ e assim

$ Area= \int_{0}^{3} y^2-2y+2 dy = (1/3 y^3 - y^2 + 2y)_{0}^{3} = 6. $

O jeito mais complicado (faça para aprender, talvez em outro problema precise!) é dividir a região em 3 regiões ($ D_1, D_2, D_3 $) onde cada uma pode ser considerada como região entre gráfico de duas funções de $ x. $ Veja a figura abaixo e observe que as partes curvadas são respectivamente gráfico de função $ y= 1+ \sqrt{x-1} $ e $ y= 1-\sqrt{x-1} $.

Na matemática antiga, o cálculo de volume era por exaustão como caso de cálculo das áreas. Vamos usar um resultado intuitivo (princípio Cavalieri)

Considere uma reta no espaço que denotamos por eixo $ x. $ Temos um sólido $ M $ cuja interseção com planos ortogonais ao eixo no ponto $ x $ é uma figura planar de área $ A(x). $ Se a função $ x \rightarrow A(x) $ for integrável, então

$ Volume (M) = \int_{a}^b{b} A(x)dx. $

Um exemplo clássico: (Sólido de revolução)

Seja $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $ uma função contínua com valores não negativos. Rotacionando a região delimitada entre gráfico de $ f $, eixo $ x $ e retas $ x=a, x=b $ em torno do eixo $ x $ obteremos um sólido chamado de sólido de revolução (ou rotação).

A área da “fatia” sobre ponto $ x $ é $ \pi f(x)^2 $ (área de círculo de raio $ f(x) $) e portanto o volume do sólido é

$ \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx. $

Um exemplo de sólido de revolução é cone cheio. Considere um cone circular com raio de base $ R $ e altura $ h. $ Então posicionamos o cone de tal forma que seu vértice esteja na origem e seu eixo de simetria coincida com eixo $ x. $ Usando semelhança de triângulo, o raio de disco com centro no ponto $ x $ é $ f(x)= \frac{R}{h}x. $ Portanto o volume de cone é:

$ \pi \int_{0}^{h} \frac{R^2}{h^2}x^2 dx = \pi \frac{R^2}{h^2} (\frac{1}{3}x^3)_{0}^{h} = \frac{1}{3} \pi R^2 h. $

Método cascas cilíndricas:

Considere gráfico da função $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}, f(x) > 0 $ e rotacionamos a região abaico do gráfico em torno do eixo $ y $. Vamos mostrar que o volume do sólido obtido é $ \int_{a}^{b} 2 \pi x f(x) dx. $