Relembrando (funções de uma variável):

Suponha que $f$, $f'$ e $f''$ são contínuas em um intervalo $I$ que contém $t=t_0$.

1) Se $f'(t_0)=0$ e $f''(t_0)<0$, então $f$ tem um máximo local em $t_0$.

2) Se $f'(t_0)=0$ e $f''(t_0)>0$, então $f$ tem um mínimo local em $t_0$.

3) Se $f'(t_0)=0$ e $f''(t_0)=0$, então o teste é inconcludente.

Agora nosso objetivo é generalizar o teste da segunda derivada para extremos locais de funções de duas variáveis.

Seja $D$ uma região do plano (não importa se aberta ou fechada).

Definições: Seja $f$ uma função definida em uma região $D$ do plano que contém o ponto $(a,b)$ no seu interior. Então:

1) $f(a,b)$ é um valor máximo local de $f$ se $f(a,b)\geq f(x,y)$ para todos os pontos $(x,y)$ em um disco aberto centrado em $(a,b)$ e contido em $D$. O ponto $(a,b)$ é chamado máximo local de $f$ em $D$.

2) $f(a,b)$ é um valor mínimo local de $f$ se $f(a,b)\leq f(x,y)$ para todos os pontos $(x,y)$ em um disco aberto centrado em $(a,b)$ e contido em $D$. O ponto $(a,b)$ é chamado mínimo local de $f$ em $D$.

3) O ponto $(a,b)$ é chamado extremo local de $f$ em $D$ se é um ponto máximo ou mínimo local de $f$ em $D$.

Teorema: Seja $f$ uma função diferenciável em $D$ e seja $(a,b)$ um ponto no interior de $D$. Se $(a,b)$ é um extremo local de $f$, então $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$.

Mas, se liga! $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$ não implica que $(a,b)$ é um extremo local de $f$.

Vamos definir agora um tipo diferente de ponto. Qualquer ponto $(a,b)$ no interior de $D$, onde $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$ é chamado ponto crítico de $f$.

Um ponto crítico $(a,b)$ de $f$ é um ponto de sela se em todo disco aberto de centro $(a,b)$ contido em $D$, existirem pontos $(x,y)$ onde $f(x,y)>f(a,b)$ e pontos $(x,y)$ onde $f(x,y)<f(a,b)$.

Exemplos:

1) Tomando $f(x,y)=x^2+2y^2$ temos um parabolóide onde $f(x,y)\geq f(0,0)=0$ para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. $(0,0)$ é um mínimo de $f$. Note que $f_x(x,y)=2x$ e $f_y(x,y)=4y$ e daí $f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$.

2) Tomando $f(x,y)=-x^2-2y^2$ temos um parabolóide onde $f(x,y)\leq f(0,0)=0$ para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. $(0,0)$ é um máximo de $f$. Note que $f_x(x,y)=-2x$ e $f_y(x,y)=-4y$ e daí $f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$.

3) Agora olhando para $f(x,y)=x^2-2y^2$ temos que $(0,0)$ não é mínimo nem máximo local de $f$, é um ponto de sela. Pois, por exemplo, $f(x,0)=x^2>f(0,0)=0$ e $f(0,y)=-4y<f(0,0)=0$.

Agora, dado um ponto crítico como saberemos se é máximo, mínimo ou ponto de sela?

Agora, dado um ponto crítico como saberemos se é máximo, mínimo ou ponto de sela? Primeiramente vamos ver uma matriz chamada matriz Hessiana.

Definição: Dada uma função $f$ definida em $\mathbb{R}^2$, a matriz Hessiana de $f$ no ponto $(a,b)$ é uma matriz $2\times 2$ dada por

$ H(a,b) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}(a,b) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a,b)& \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}(a,b) \end{bmatrix}$

se todas as derivadas parciais de segunda ordem existem. No que estamos interessados é no determinante da matriz Hessiana, que é dado por $f_{xx} f_{yy}-f_{xy}^2$.

Critério: Suponha que $f$ e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem sejam contínuas sobre um disco centrado em $(a,b)$ e que $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$. Então:

1) $(a,b)$ é um máximo local se $f_{xx}(a,b)<0$ e $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)>0$.

2) $(a,b)$ é um mínimo local se $f_{xx}(a,b)>0$ e $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)>0$.

3) $(a,b)$ é um ponto de sela se $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)<0$.

O teste é inconcludente se $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)=0$.

Exemplo: Olhemos para a seguinte função:

$ f(x,y)=-5x^2+2xy-2y^2+4x+4y-4. $

Primeiro, como $f$ é um polinômio, $f$ e todas as suas derivadas parciais de toda ordem existem e são contínuas em $\mathbb{R}^2$.

$ f_x(x,y)=-10x+2y+4, f_y(x,y)=2x-4y+4 $

Para localizarmos os pontos críticos igualamos essas duas equações a 0. Fazendo dessa forma temos que $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)$ é um ponto crítico. Vamos ver qual a sua natureza.

$f_{xx}\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)=-10<0$

e

$f_{xx}f_{yy}\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)-f_{xy}^2\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)=36>0$.

Assim, concluímos que $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)$ é um máximo local de $f$.