A fórmula de Wallis não é muito complicada e podemos provar aqui:

objetívo é demonstrar que

$ \frac{\pi}{2} = \frac{2\times 2\times 4\times 4\times \cdots \times 2m \times 2m \times \cdots}{1 \times 3\times 3 \times 5 \times 5 \times \cdots}$

Denotamos por $ W_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sen^n(x) dx $

é fácil ver que $ W_0=\frac{\pi}{2} $ e $ W_1 =1. $

Fazendo um bom exercício de integração por partes podemos mostrar que

$ W_n = \frac{1}{n} [-cos(x)sen^{n-1}(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{n-1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sen^{n-2}(x) dx. $

e portanto

$ W_n = \frac{n-1}{n} W_{n-1}, n \geq 2. $ Se continuarmos assim obteremos:

$ W_{2m} = \frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdots \frac{1}{2} W_0 $

e para números ímpares:

$ W_{2m+1} = \frac{2m}{2m-1}\frac{2m-2}{2m-1}\cdots \frac{1}{2} W_1$

Já que $ W_0 = \frac{\pi}{2}, $ então temos uma relação entre número $ \pi$ e $ W_{2m}.$

Dividindo as fórmulas para índices ímpares por índices pares teremos:

$ \frac{W_{2m+1}}{W_{2m}} = \frac{(2m)(2m) (2m-2)(2m-2)\cdots (2)(2)}{(2m+1)(2m-1)(2m-1)(2m-3)(2m-3)\cdots (3)(3)(1) } \frac{2}{\pi}$

e portanto

$ \frac{\pi}{2} = \frac{(2m)(2m) (2m-2)(2m-2)\cdots (2)(2)}{(2m+1)(2m-1)(2m-1)(2m-3)(2m-3)\cdots (3)(3)(1) } \frac{W_{2m}}{E_{2m+1}} $

Agora observe que

$ 0 \leq sen^{2m+1}(x) \leq sen^{2m}(x) \leq sen^{2m-1}(x), 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

e portanto $ W_{2m+1} \leq W_{2m} \leq W_{2m-1}$. isto implica que

$ 1 = \frac{W_{2m+1}}{W_{2m+1}} \leq \frac{W_{2m}}{W_{2m+1}} \leq \frac{W_{2m-1}}{W_{2m+1}} = \frac{2m+1}{2m}$

e usando teorema de sandwich concluímos que $ \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{W_{2m}}{W_{2m+1}} = 1$

e assim demonstramos a fórmula de Wallis.