Vamos construir uma função $ \Gamma: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ tal que para todo $ n \in \mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2\times 1. $

Considere seguinte integral imprópria

$ \int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} dt. $

Observe que essa integral é convergente. De fato, $ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{t^n}{e^{\frac{t}{2}}} =0 $ e portanto para $ t $ suficientemente grande temos que $ t^n < e^{\frac{t}{2}} $ e já que $ \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{t}{2}} $ é convergente, pelo teste de comparação, $ t^n e^{-t} < e^{-\frac{t}{2}} $ para $ t $ grande, concluímos que $ \int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} dt < \infty. $

Vamos aplicar integração por partes:

$ \int_{0}^{A} t^n e^{-t} dt = -t^n e^{-t}|_0^{A} + \int_{0}^{A} nt^{n-1} e^{-t} dt$

$ = - \frac{A^n}{e^A} + n \int_{0}^{A} t^{n-1} e^{-t} dt.$

Já que $ \lim_{A \rightarrow \infty} \frac{A^n}{e^A}=0 $ concluímos que

$ \int_{0}^{A} t^n e^{-t} dt = n \int_{0}^{A} t^{n-1} e^{-t} dt. $

Agora se repetirmos este processo, trocando $ n$ por $ n-1$ e assim por diante teremos:

$ \int_{0}^{A} t^n e^{-t} dt = n! \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = n! $

Inspiramos desta integral e definimos

$ \Gamma: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}; \Gamma(x):= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt. $

De fato para $ x \geq 1$ temos uma integral imprópria da primeira categoria que converge por critério de comparação como explicamos acima.

Se $ x < 1$ temos $ \int_{0}^{1} t^{x-1} e^{-t} dt + \int_{1}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt.$

Observe que a primeira parte da soma é uma integral imprópria de segunda categoria.

Para $ t > 0$ temos : $ \frac{e^{-t}}{t^{1-x}} < \frac{1}{t^{1-x}}$ e já que $ 0 < 1-x < 1$ e $ \int_{0}^{1} \frac{1}{t^{1-x}} dt$ converge, pelo critério de comparação $ \int_{0}^{1} t^{x-1} e^{-t} dt$ também converge. A segunda parcela da soma também converge como provamos anteriormente. Assim é legítimo definir a função $ \Gamma: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ e usando integração por partes $ \Gamma(x+1)= x \Gamma(x).$

Observamos que $ \Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt =1, \Gamma(2)=1$ e $ \Gamma(n+1)= n!$.

É curioso calcular alguns outros valores da função $ \Gamma.$

Exemplo: Calcule $ \Gamma(\frac{1}{2}).$

Pela definição $ \Gamma(\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-t} dt. $ Usando mudança de variável $ t=u^2 $ temos

$ \Gamma(\frac{1}{2}) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du $

Agora não se desesperem! A primitiva da função $ e^{-u^2} $ é impossível! Algum momento da vida quando aprendemos métodos mais sofisticados podemos calcular $ \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ e portanto

$ \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}. $

A função Gamma é muito poderosa e em particular dá para usar essa função para mostrar uma fórmula maravilhosa chamada fórmula de Stirling

$ n! \sim (\frac{n}{e})^n \sqrt{2\pi n}$

que isto quer dizer:

$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{(\frac{n}{e})^n \sqrt{2\pi n}} =1.$