Seja $ S \subset \mathbb{R}^n$ e $ a$ um ponto no interior do $ S$. Seja $ f: S \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $ \frac{\partial f}{\partial x_i} $ exista para todos os pontos numa bola em torno de $ a. $ Para todo $ 1 \leq j \leq n$ por definição $ \frac{\partial^2 f}{ \partial x_j \partial x_i}$ é a derivada parcial (com respeito da variável $ x_j $) da função $ \frac{\partial f}{\partial x_i},$ i.e $ \frac{\partial}{\partial x_j} (\frac{\partial f}{\partial x_i}).$ Essa derivada é chamada de derivada parcial de segunda ordem.

Notações: $D_{ij} f(a)$ ou $ \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} (a)$ representam a segunda derivada parcial (primeiramente com respeito da $ x_i$ e depois $ x_j.$)

\textbf{Observação:} Para uma função de $n$ variáveis podemos ter $ n^2$ derivadas parciais de segunda ordem, mais geral, para uma função de $n$ variáveis podemos ter $n^k$ derivadas parciais de ordem $k$.

Exemplo: Seja $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $$ f(x,y)=x^3y+e^{y^2}. $$ Temos que $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y, \frac{\partial f}{\partial y} = x^3+2ye^{y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= 6xy,\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2e^{y^2}+4y^2e^{y^2}, \frac{\partial^2 f}{ \partial x \partial y} =3x^2, \frac{\partial^2 f}{ \partial y \partial x} = 3x^2 $

Seja $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ e $S\subset D$ aberto.

(1) Dizemos que $f$ é de classe $\mathcal{C}^k$ em $S$ ($f\in\mathcal{C}^k(S)$ se f é contínua e todas as suas derivadas parciais até a ordem $k$ existem e são contínuas em todo $S$.

(2) Dizemos que $f$ é de classe $\mathcal{C}^\infty$ em $S$ ($f\in\mathcal{C}^\infty(S)$ se f é contínua e todas as suas derivadas parciais de todas as ordens existem e são contínuas em todo $S$.

Teorema (Schwarz, Clairut): Seja $ S \subset \mathbb{R}^n$, $ a \in S $ um ponto no interior de $S$ e $ f\in\mathcal{C}^2(S)$, isto é, tal que ambas as derivadas parciais $ \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} $ e $ \frac{\partial^2}{ \partial x_i \partial x_j} $ existem e são contínuas em $S$, então $ \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} f(a) = \frac{\partial^2}{ \partial x_i \partial x_j}f(a).$

Corolário 1: Seja $S\in\mathbb{R}^n$ aberto e $f\in\mathcal{C}^k(S)$, então, em $S$, a ordem de derivação não importa para as derivadas parciais até a ordem $k$.

Corolário 2: Seja $S\in\mathbb{R}^n$ aberto e $f\in\mathcal{C}^\infty(S)$, então, em $S$, a ordem de derivação não importa para as derivadas parciais de qualquer ordem.

Exemplos: Funções polinomiais pertencem à classe $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n)$; Soma, produto, compostas de funções que pertencem à classe $\mathcal{C}^k(S)$ são funções de classe $\mathcal{C}^k(S)$.

Exemplo onde não temos simetria: Considere $ f(x)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} , (x,y) \neq (0, 0)$ e $ f(0, 0)=0.$ Usando definição da derivada podemos ver que $ f_x(0, 0)=0, f_y(0, 0)=0.$ Entretanto, $ f_y(x, 0)=x$, de fato

$ f_y(x, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x, h) - f(x, 0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{xh(x^2 - h^2)}{ h(x^2 + h^2)} = x.$

Por outro lado, $ f_x(0, y)= -y$ e então $ f_{xy}(0, 0)=-1$ e $ f_{yx}(0, 0)=1.$ ($ f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_y(h, 0)-f_y(0, 0)}{h}= 1).$ Assim, temos $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\neq\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. $$