Até agora sempre consideramos integral de funções limitadas nos domínios limitados. Vamos além deste casos.

Integral imprópria (Categoria 1): Domínio ilimitado

Consideramos funções com domínio do tipo $ (-\infty, a] $ ou $ [a, \infty). $ Primeiramente consideramos $ f : [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}. $ Suponhamos que para todo $ A>a $ a função $ f $ seja integrável no intervalo $ [a, A] $ e que $ \lim_{A \rightarrow \infty} \int_{a}^{A} f $ exista. Neste caso dizemos que

$ \int_{a}^{\infty} f $ converge e $ \int_{a}^{\infty} f = \lim_{A \rightarrow \infty} \int_{a}^{A} f $

Exemplo 1: Seja $ p > 0 $. Analisamos a convergência de $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx. $

Lembramos que se $ p\neq 1 $ então $ \int_{1}^{A} \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{-p+1} (A^{-p+1} -1) $ e

$ p=1, \int_{1}^{A} \frac{1}{x^p} dx = ln(A).$

Portanto $ \lim_{A \rightarrow \infty} \int_{1}^{A} \frac{1}{x^p} dx $ existe apenas quando $ p >1. $

Exemplo 2: Dado $ \alpha > 0 $ podemos ver que

$ \int_{0}^{A} e^{-\alpha x} = \frac{-1}{\alpha} (e^{-\alpha A} -1) $

e portanto a integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} dx $ converge e é igual a $ \frac{1}{\alpha}. $

Exemplo 3: Vamos mostrar que $ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx $ converge!

Alerta: Não tentem calcular primitiva! o fato é que para $ x \geq 1 $ temos $ e^{-x^2} \leq e^{-x} $ e portanto

$ \int_{1}^{A} e^{-x^2} dx \leq \int_{1}^{A} e^{-x} dx$

pelo exemplo anterior sabemos que a integral do lado direito quando $ A$ tende a infinito converge. o lado esquerdo é uma função crescente de $ A$ e portanto também converge (explicação de convergência no cálculo 1). Portanto $ \int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx $ converge e adicionando um número fixo $ \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx $ concluímos que

$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx $ converge.

Critério de comparação:

Sejam $ f, g $ funções não negativas e definidas no intervalo $ [a, \infty). $ Ambas integrável em qualquer intervalo $ [a, A], A \geq a. $ Suponhamos que existe $ K >a $ tal que $ \forall x > K , f(x) \leq g(x). $ Então:

Se $ \int_{a}^{\infty} g $ convergir, $ \int_{a}^{\infty} f $ também converge.

Se $ \int_{a}^{\infty} f$ divergir, $ \int_{a}^{\infty} g$ também diverge.

Integral imprópria (segunda categoria): domínio limitado

Agora consideramos casos em que uma função está definida numintervalo $ (a,b] $ e $ \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x)= \infty. $ Existe um caso similar quando o domínio é de forma $ [a,b). $ Por exemplo considere a função $ f(x)=\frac{1}{x^p}, p >0 $ e observe que $ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \infty. $

Se para todo $ \epsilon $ tal que $ a+\epsilon \leq b $ a função $ f $ for integrável no intervalo $ [a+\epsilon, b] $ e

$ \lim_{\epsilon \rightarrow o} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)dx $ existir, dizemos que $ \int_{a}^{b} f $ converge. Caso contrário, dizemos que a integral diverge.

Exemplo 4: Analise a convergência de $ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx $ onde $ p >0. $

Dado $ 0 < \epsilon <1 $ para $ p \neq 1 $ temos $ \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{-p+1} (1-\epsilon^{-p+1}) $ e para $ p =1, \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x} dx = - ln(\epsilon) $

Podemos verificar que apenas para $ p < 1 $ a integral converge:

$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{-p+1}. $

Exemplo 5: Analisamos $ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}}. $

Aqui vamos considerar duas integrais $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} $ e $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} $ separadamente. Usando critério de comparação podemos mostrar que cada uma das integrais é convergente.

De fato $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} $ é da segunda categoria. Vamos usar o critério da comparação:

$ \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \frac{1}{\sqrt{x}} $ e pelo exemplos anteriores sabemos que $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} $ converge.

Por outro lado $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} $ é da primeira categoria e novamente vamos utilizar critério da comparação. Essa vez observe que

$ \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \frac{1}{\sqrt{x^3}} $ e já que $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3}} < \infty $ pelo teste da comparação concluímos que $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \infty. $

Portanto $ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \infty. $

Integral imprópria: Um ponto problemático no meio do domínio da integração

Agora vamos considerar integrais como $ \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$

Observe que $ x=0 $ não pertence ao domínio da função. Neste caso, é conveniente considerar

$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} := \int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} $

e cada uma das integrais impróprias do lado direito é convergente pelo exemplo (4).

Exemplo Intrigante:

E agora vamos considerar $ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx.$

Observe que como exemplo anterior podemos dividir em duas integrais

$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx:= \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx $

e cada uma das integrais do lado direito é divergente e parece justo afirmar que a integral no intervalo $ [-1, 1]$ é divergente também!

Porém podemos ter outro ponto de vista e considerar

$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx := \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx + \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x} dx$

Observe que para qualquer $ 0< \epsilon <1 $ o lado direito da equação acima se anula. E portanto parece justo também definir a integral como zero!

Porém, agora imagina que alguém queira calcular de seguinte:

$ \int_{-1}^{-\epsilon_1} \frac{1}{x} dx + \int_{\epsilon_2}^{1} \frac{1}{x} dx = \ln(\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2})$

e agora tentamos “mandar” $ \epsilon_1, \epsilon_2$ para zero! Ora, dependendo da proporção $ \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}$ obteremos valores diferentes!!

Para alguns problemas, o uso de uma destas formas de calculo pode ser útil. Geralmente denotamos este tipo de integrais por p.v. $ \int_{a}^{b} f(x)dx$ (principal value).