Vamos escrever a fórmula de mudança de variável para integrais definidas. Para simplificar vamos assumir que a função $ f $ assume apenas valores não negativos e assim interpretamos $ \int_{a}^{b} f(x) dx $ como área abaixo do gráfico da função.

Suponhamos que $ \phi $ uma função injetiva e diferenciável que transforma o intervalo $ [\alpha, \beta] $ em intervalo $ [a, b] $ ou $ [b, a] $, dependendo de $ a<b $ ou $ b < a. $

Quando $ \phi $ é estritamente crescente $ \phi([\alpha, \beta]) = [a, b] $ e quando é estritamente decrescente $ \phi([\alpha, \beta]) = [b, a]. $ (em ambos os casos $ \phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b. $ )

Observe que a altura do gráfico da função $ f\circ\phi $ no ponto $ t $ é a mesma que do gráfico da função $ f $ no ponto $ \phi(t). $ temos uma correspondência 1-1 entre segmentos verticais abaixo do gráfico da função $ f\circ \phi $ no intervalo base $ [\alpha, \beta] $ e segmentos verticais abaixo do gráfico da $ f $ no intervalo $ [a, b]. $ Porém não podemos afirmar (ingenuamente) que $ \int_{\alpha}^{\beta} f \circ \phi = \int_{a}^{b} f. $

De fato, a fórmula de mudança de variável diz:

$ \int_{\alpha}^{\beta} (f \circ \phi). \phi^{'} = \int_{a}^{b} f.$

Observe que apesar de ter mesmas alturas, a base das regiões que estamos comparando tem comprimentos diferentes e ai entre o termo $ \phi^{'} $ para compensar!

Por exemplo, se $ 0 < \phi^{'}(t) < 1 $ então um intervalo pequeno e torno de $ t $ será transformada (pela ação de $ \phi $) a um intervalo ainda menor em torno de $ \phi(t) $. Multiplicando a altura por $ \phi^{'}(t) $ diminuímos a altura para ter mesma área. vamos ver nos exemplos, um pouco melhor:

Exemplo: Considere função constante $ f(x)=1 $ e $ \phi: [0,2] \rightarrow [0,4] $ definida por $ \phi(x)=x^2. $ Já que $ f $ é constante

$ \int_{0}^{4} f(x)dx = 4 $ e $ \int_{0}^{2} f(\phi(t)) dt =2. $

Observe que $ \phi^{'}(t)=2t. $ Quando $ t \in [0, 1/2] $ temos $ 0 \leq \phi^{'}(t) \leq 1 $ e portanto $ \phi $ contrai o intervalo $ [0, 1/2] $ (lembre do teorema de valor médio: se $ t_1, t_2 \in [0, 1/2] $ então $ |\phi(t_1) - \phi(t_2)| \leq |t_1-t_2| $ e todo o intervalo $ [0,1/2] $ será transformado em intervalo $ [0, 1/4]. $)

A área abaixo do gráfico de $ f $ no intervalo $ [0, 1/4] $ é $ 1/2 $ da área abaixo do gráfico de $ f \circ \phi $ no intervalo $ [0, 1/2] $. Multiplicando por $ 2t $ vamos substituir essa região pela região triangular entre $ [0, 1/2] $ que terá metade da área e coincide com $ \int_{0}^{1/4} f. $.

Por outro lado para $ t_1, t_2 \in [1/2, 2] $ a área do gráfico de $ f\circ \phi $ no intervalo $ [t_1, t_2] $ é menor do que área abaixo de $ f $ entre $ [\phi(t_1), \phi_{t_2}] $ e portanto multiplicando por $ 2t $ compensamos novamente.

O que acontece quando $ \phi $ é decrescente? Neste caso, $ \phi^{'} $ é negativo. Portanto o gráfico da função $ f\circ \phi. \phi^{'} $ é abaixo do eixo horizontal. Aqui, $ \phi(\alpha) =a > b=\phi(\beta) $ e portanto $ \int_{a}^{b} f(x)dx $ é negativo também.

$ \int_{a}^{b} f(\phi(t)) \phi^{'}(t)dt = \int_{\beta}^{\alpha} f(\phi(t)). |\phi^{'}(t)| dt = \int_{a}^{b} f(x)dx. $

Vamos dar um exemplo onde $ \phi $ não é injetiva. A formula de mudança de variável vale para estes casos também.

Seja $ f: [1,4] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1 $ e $ \phi: [-1,2] \rightarrow \mathbb{R}, \phi(t)=t^2. $ Suponhamos $ \alpha=-1, \beta=2, a=1, b=4. $

temos

$ \int_{1}^{4} f(x)dx=3, \int_{-1}^{2} f(\phi(t)) \phi^{'}(t) dt = \int_{-1}^{2} 2t dt =3. $

Observe pelo gráfico das funções que as integrais $ \int_{-1}^{0} 2t dt $ e $ \int_{0}^{1} 2t dt $ se cancelam. A primeira parte refere quando $ \phi $ decresce e a segunda refere a parte crescente da $ \phi. $