As vezes temos a dependência de duas variáveis implicitamente. Por exemplo $ y- x^2 - 1=0$ é uma relação que pode ser explicitamente escrita como $ y = x^2+1$ e assim $ y $ é uma função de $ x $, $y(x)$.

Porém poderá haver relações implícitas bem mais complexas e as vezes não podemos descrever nenhuma das variáveis como função de outras variáveis. Suponhamos que temos uma relação entre $ x, y $ dada por:

$ F(x, y) =0 $

Suponhamos que $ y $ é uma função diferenciável de $ x $ pelo menos em torno de um ponto específico $ x_0. $ O objetivo é calcular

$ \dfrac{dy}{dx} (x_0). $ Isto é, se $ y=f(x) $ então queremos calcular $ f^{'}(x_0). $

Observe que $ G(x):= F(x, f(x))=0 $ e já que a derivada de uma função constante é zero, $ \frac{dG}{dx}(x_0) =0 $ e pela regra de cadeia, que vimos anteriormente:

$ \dfrac{dG}{dx} = \dfrac{\partial F}{\partial x} \dfrac{dx }{dx} + \dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx} =0$

e assim, se em algum ponto $ (x_0, y_0) $ tivermos $ \dfrac{\partial F}{\partial y} (x_0, y_0) \neq 0 $ concluímos que:

$ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F}{\partial x} }{\dfrac{\partial F}{\partial y}}$

E para mais variáveis?

Uma fórmula parecida vale: suponhamos que $ F(x_1, x_2, \cdots, x_n, y) =0. $ Se $ y $ for uma função de $ x_1, \cdots, x_n $, ou seja $ y=f(x_1, \cdots, x_n) $ então $ F(x_1, \cdots, x_n, f(x_1, \cdots, x_n)) =0 $ e novamente usando regra de cadeia:

$ \dfrac{\partial F}{\partial x_j}= \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial F}{\partial x_i} \dfrac{dx_i }{dx_j} + \dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx_j} = 0. $

Já que $ \dfrac{dx_i}{dx_j} =0, i \neq j$, $ \dfrac{\partial F}{\partial x_j} + \dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx_j} =0 $ e portanto, se $ \dfrac{\partial F}{\partial y} \neq 0 $, temos:

$ \dfrac{\partial y}{\partial x_j} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F}{\partial x_j} }{\dfrac{\partial F}{\partial y}}. $

Exemplo: Suponhamos $ x^2+y^2 =1$ então calcule a derivada de $ y $ como uma função de $ x $ no ponto $ \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). $ Observe que $ x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, y$ pode ter dois valores (tente enxergar porque isolando y na equação).

Pela derivação implícita:

$ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F}{\partial x} }{\dfrac{\partial F}{\partial y}}$ e $ \dfrac{\partial F}{\partial x} = 2x, \dfrac{\partial F}{\partial y} =2y$ e portanto

$ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{2 \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{ - 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2}} =1. $

Podemos ver que se fosse para calcular a derivada no ponto $ \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, a resposta seria $ -1.$ Por efeito, a função que descreve dependência de $ y$ em termos de $ x$ depende do ponto. Geometricamente falando, a relação implícita é a equação de um círculo que não pode ser visto como gráfico de uma única função $ y=f(x)$ e por isto precisamos determinar em torno de qual ponto queremos descrever $ y$ como uma função de $ x$.

Nem sempre é possível descrever $ y$ como uma função de $ x$ e no exemplo anterior os pontos $ (1, 0), (-1, 0)$ mostram isto.