Em Cálculo 1 tínhamos que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0,y_0)$ era dada por

$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

Agora, aqui no cálculo 2, vamos definir o conceito de plano tangente. Seja $f$ uma função diferenciável no ponto (x_0,y_0). O plano

$ z=f(x_0,y_0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) $

denomina-se plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$.

Note que a equação do plano tangente tem uma certa semelhança com a equação da reta tangente. OBS: Para os casos $n\geq 3$ temos uma definição similar e chamamos de hiperplano tangente.

O vetor normal $n$ ao plano tangente é:

$n=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right).$

$n$ é perpendicular ao plano tangente. A equação da reta normal (que contém o vetor normal) que passa pelo ponto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ é dada por

$(x,y,z)=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))+\lambda\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right)$

para algum $\lambda$ real.

Exemplo: Seja $f(x,y)=\sqrt{x^2+3xy}$ e o ponto $P=(1,0,f(1,0))$. Qual é o plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $P$?

$ z=f(1,0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)(x-1)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)(y-0) $

Fazendo os cálculos temos que $z=x+\dfrac{3}{2}y$.

Qual é a reta normal ao plano, passando por $P$? Temos que $n=(1,3/2,-1)$ e daí

$(x,y,z)=(1,0,1)+\lambda(1,3/2,-1) $.

Exercício: Dada $f(x,y)=3x^2y-x$ determine o plano tangente e a reta normal ao gráfico de $f$ no ponto $(1,2,f(1,2))$.