Topologia e conjuntos em exercícios

1 Considere um espaço \((X,d)\) satisfazendo as propriedades definidas acima, fixe $\sigma$ estrategia vencedora do Jogador II no jogo de Banach-Mazur em $X$, construiremos indutivamente uma familia $\mathcal{U}=\{U_s : s\in 2^{<\omega}\}$ em $X$ satisfazendo:

• $U_{s}$ é um aberto nao vazio;
• $diam(U_{s})\leq\frac{d}{2^{|s|}}$;
• Para $s\in 2^{<\omega}$ e $i\in\{0,1\}$, $U_{s\frown i}\subseteq \sigma(\langle U_{\emptyset},\ldots,U_{s}\rangle)$ tais que:
  • $U_{s\frown 0}\cap U_{s\frown 1}=\emptyset$ ;
  • $diam(U_{s\frown i})\leq \frac{d}{2^{|s|+1}} $.

1.1 Considere um aberto \(U_{\emptyset}\) tal que \(diam(U_{\emptyset}) = d\).

1.2 Mostre que existem dois abertos não-vazios e disjuntos \(U_{(0)}\), \(U_{(1)} \subseteq \sigma(\langle U_{\emptyset}\rangle)\) tais que \(diam(U_{(1)}), diam(U_{(0)}) \leqslant \dfrac{d}{2}\).Dica

1.3 Dada uma sequência \(s \in 2^{<\omega}\) e um aberto \(U_s\) já definido, encontre dois abertos não vazios disjuntos $U_{s \frown 0},U_{s \frown 1}\subseteq \sigma (\langle U_{\emptyset},\ldots,U_{s}\rangle)$ com $diam(U_{s \frown 0}),diam(U_{s \frown 1})\leq \frac{d}{2^{|s|+1}}$.Dica

1.4 Defina \(U_r\) com \(r \in 2^{\omega}\) como \(U_r = \bigcap\limits_{k \in \omega} U_{r \upharpoonright k}\) e note que \(U_r\) é unitário. Vamos chamar esse ponto $x_{r}$.Dica

2 Defina \(f: 2^\omega \longrightarrow X\) com \(f(r) = x_r\).

2.1 Mostre que \(f\) é injetora.

2.2 Mostre que \(f\) é contínua.

2.3 Conclua que \(X\) contém um subconjunto homeomorfo ao conjunto do Cantor.

3 Seja $X\subseteq\mathbb{R}$ um conjunto de Bernstein. Mostre que o Jogador II não tem estrategia vencedora no jogo de Banach-Mazur sobre $X$.