Ferramentas do usuário
Hipótese de Suslin
1 Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, enumerável, com ordem densa e sem maior nem menor elementos. Mostre que $X$ é isomorfo a $\mathbb Q$. Solução
2 Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, completo, com ordem densa, sem maior nem menor elementos e separável.
2.1 Mostre que $X$ admite um denso, no sentido de ordem, enumerável, com ordem densa e sem maior nem menor elementos. Solução
2.2 Seja $D \subset X$ denso. Mostre que, para todo $x \in X$, temos que $x = \sup\{d \in D: d < x\}$.Solução
2.3 Mostre que $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.Solução
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço c.c.c. se ele não admite uma família de abertos dois a dois disjuntos não enumerável.
3 Mostre que todo espaço separável é c.c.c.Solução
Chamamos de Hipótese de Suslin a afirmação de que não existe um conjunto $(X, \leq)$ totalmente ordenado, completo, com ordem densa, sem maior nem menor elementos c.c.c. e não separável. Um espaço com tais propriedades é chamado de reta de Suslin.
4 Seja $(X, \leq)$ uma reta de Suslin.
4.1 Construa, por indução, sequências $(a_\xi)_{\xi \in \omega_1}$, $(b_\xi)_{\xi \in \omega_1}$ e $(c_\xi)_{\xi \omega_1}$ de pontos de $X$ tais que, para todo $\xi \in \omega_1$, $a_\xi < b_\xi < c_\xi$ e $]a_\xi, c_\xi[ \cap \{b_\eta: \eta < \xi\} = \emptyset$. DicaSolução
4.2 Mostre que, se $\xi < \eta$, então $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$ ou $]b_\xi, c_\xi[ \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$.
4.3 Mostre que $X \times X$ não é c.c.c. Solução
Observe que na seção sobre Produto de espaços c.c.c. está dito que, supondo $MA$, então produto de espaços c.c.c é c.c.c. Considerando o que foi provado no item acima, temos então que a Hipótese de Suslin é uma afirmação independente de ZFC.
Ferramentas da página
