Topologia e conjuntos em exercícios

1 Seja $(X, \tau)$ espaço topológico tal que, para todos $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existem $f: X \rightarrow [0, 1]$ contínua tal que $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}$. Mostre que $X$ é $T_4$.

2 Seja $(X, d)$ espaço métrico. O roteiro deste exercício é mostrar que $(X, d)$ é $T_4$ (e, portanto, normal).

2.1 Mostre que, dado $A \subset X$ não vazio, a função $f(x) = d(x, A)$ é contínua.

2.2 Mostre que, se $F \subset X$ é fechado, $d(x, F) = 0$ se, e somente se, $x \in F$.

2.3 Mostre, dados $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existe $f: X \rightarrow [0, 1]$ contínua tal que $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}$.

2.4 Conclua que todo espaço métrico é normal.

3 Este é um roteiro para mostrar o Lema / Urysohn; Lema de Urysohn: Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico $T_4$. Então, dados $F, G$ fechados disjuntos, existe $f: X \rightarrow [0, 1]$ contínua tal que $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}$.

3.1 Mostre que existe $U_0$ aberto tal que $F \subset U_0 \subset \overline{U_0} \subset X \setminus G$.

3.2 Mostre que existe $U_1$ aberto tal que $F \subset U_0 \subset \overline{U_0} \subset U_1 \subset \overline{U_1} \subset X \setminus G$.

3.3 Considere $(q_n)_{n \in \omega}$ uma enumeração para $\mathbb Q \cap [0, 1]$ de forma que $q_0 = 0$ e $q_1 = 1$. Mostre que existe uma sequência de abertos satisfazendo, para todo $n, m \in \omega$:

• $F \subset U_n \subset \overline U_n \subset X \smallsetminus G$.
• se $q_n < q_m$, então $\overline{U_n} \subset U_m$.

3.4 Defina $f: X \rightarrow [0, 1]$ por $f(x) = \inf(\{q_n: x \in U_n\} \cup \{1\})$. Mostre que $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}$.

3.5 Dado $\alpha \in ]0, 1[$, mostre que $f^{-1}[[0, \alpha[]$ e $f^{-1}[]\alpha, 1]]$ são abertos.

3.6 Mostre que $f^{-1}[]\alpha, \beta[]$ é aberto para todo $0 < \alpha < \beta < 1$.

3.7 Conclua que $f$ é contínua.