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Conjuntos de Bernstein
Dizemos que $X \subset \mathbb R$ é um conjunto de Bernstein se $X$ é não enumerável e, para todo $F \subset \mathbb R$ fechado e não enumerável, temos que $F \cap X \neq \emptyset$ e $F \cap (\mathbb R \setminus X) \neq \emptyset$.
1 Seja $A \subset \mathbb R$ não enumerável.
1.1 Mostre que existe $x \in \mathbb R$ tal que $]-\infty, x[ \cap A$ e $]x, +\infty[$ são ambos não enumeráveis. Dica
1.2 Mostre que existem $a < b$ tais que $]-\infty, a] \cap A$ e $[b, +\infty[ \cap A$ são ambos não enumeráveis.
2 Seja $F \subset \mathbb R$ fechado e não enumerável.
2.1 Mostre que existem $a < b$ tais que $[a, b] \cap F$ é não enumerável.
2.2 Dado um intervalo $[a, b]$ tal que $[a, b] \cap F$ é não enumerável, mostre que existem $c < d$ tais que $[a, c] \cap F$ e $[d, b] \cap F$ são ambos não enumeráveis.
2.3 Mostre que $F$ tem $\mathfrak c$ pontos.
3 Fixe $\mathcal B$ uma base enumerável para $\mathbb R$.
3.1 Mostre que todo aberto é união enumerável de elementos de $\mathcal B$.
3.2 Mostre que existem, no máximo, $\mathfrak c$ fechados. Solução
3.3 Exiba $\mathfrak c$ fechados não enumeráveis. Solução
3.4 Conclua que existem exatamente $\mathfrak c$ fechados não enumeráveis.
4 Considere $(F_\xi)_{\xi < \mathfrak c}$ todos os subconjuntos fechados não enumeráveis de $\mathbb R$.
4.1 Para cada $\xi < \mathfrak c$, considere $x_\xi, y_\xi \in F_\xi$ distintos tais que $x_\xi, y_\xi \notin \{x_\alpha: \alpha < \xi\} \cup \{y_\alpha: \alpha < \xi\}$ (cuidado aqui para justificar porque existem tais pontos).
4.2 Mostre que $X = \{x_\xi: \xi < \mathfrak c\}$ e $Y = \{y_\xi: \xi < \mathfrak c\}$ são conjuntos de Bernstein. Solução
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