Topologia e conjuntos em exercícios

1 Considere $K_\emptyset = [0, 1]$. Suponha definido $K_s = [a, b]$ para $s \in 2^{<\omega}$. Defina $K_{s \smallfrown 0} = [a, \frac{b - a}{3}]$ e $[b - \frac{b - a}{3}, b]$.

1.1 Faça um desenho do que é cada $K_s$.

1.2 Calcule o comprimento de $K_s$ em função do comprimento de $|s|$ (comprimento de $s$).

1.3 Note que se $s$ e $t$ tem mesmo comprimento e são distintos, $K_s \cap K_t = \emptyset$.

1.4 Mostre que $K_s \subset K_t$ se, e somente se, $s \supset t$.

1.5 Para cada $n \in \omega$, seja $K^n = \bigcup\{K_s: |s| = n\}$. Note que cada $K^n$ é compacto.

1.6 Note que $K^{n + 1} \subset K^n$ para todo $n \in \omega$.

1.7 Defina $C = \bigcap_{n \in \omega} K^n$. Note que tal conjunto é compacto e não vazio. Tal conjunto é conhecido como conjunto de Cantor

2 Adote as notações dos exercícios anteriores. Vamos apresentar mais algumas propriedades de $C$.

2.1 Seja $f \in 2^{\omega}$. Note que $f \upharpoonright n \in 2^{<\omega}$.

2.2 Note que se $n, m \in \omega$, com $n < m$, então $K_{f \upharpoonright m} \subset K_{f \upharpoonright n}$.

2.3 Fixe $f \in 2^{\omega}$. Mostre que $\bigcap_{n \in \omega} K_{f \upharpoonright n}$ é um subconjunto unitário de $C$.

2.4 Considere $\varphi: 2^\omega \to C$ dada por $\varphi(f) = x$ onde $\{x\}$ é a intersecção dada no item anterior.

2.5 Mostre que $\varphi$ é injetora.

2.6 Mostre que $\varphi$ é bijetora.

2.7 Mostre que $\varphi$ é contínua.

2.8 Conclua que $2^\omega$ é $C$ são homeomorfos.