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Bases
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal B \subset \tau$ é uma base para $X$ se, para qualquer $A$ aberto e qualquer $x \in A$, existe $B \in \mathcal B$ tal que $x \in B \subset A$.
1 Mostre que $\mathcal B = \{]a, b[: a, b \in \mathbb Q\}$ é uma base para $\mathbb R$ (com a topologia usual).
2 Mostre que uma família de abertos $\mathcal B$ é uma base se, e somente se, para todo aberto $A$, existe $\mathcal B' \subset \mathcal B$ tal que $A = \bigcup_{B \in \mathcal B'} B$.Solução
3 Seja $X$ espaço discreto. Seja $\mathcal B$ base para $X$. Dado $x \in X$, mostre que $\{x\} \in \mathcal B$.
4 Mostre que $\mathbb R$ com a topologia discreta não admite uma base enumerável.Dica
5 Existem duas bases $\mathcal B$ e $\mathcal B'$ para a topologia usual de $\mathbb R$ tais que $\mathcal B \cap \mathcal B' = \emptyset$?
6 Mostre que se $\mathcal B$ e $\mathcal C$ são bases sendo $\mathcal B$ enumerável, então existe $\mathcal C' \subset \mathcal C$ base enumerável. Dica Solução
7 Mostre que, se $Y \subset X$ é subespaço de $X$ e $\mathcal B$ é uma base para $X$, então $\mathcal B' = \{B \cap Y: B \in \mathcal B\}$ é uma base para $Y$.
Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $x \in X$. Dizemos que $\mathcal B \subset \tau$ é uma base local para $x$ se $x \in B$ para todo $B \in \mathcal B$ e, para todo $A$ aberto tal que $x \in A$, temos que existe $B \in \mathcal B$ tal que $B \subset A$.
8 Seja $x \in \mathbb R$. Mostre que $\{]x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}[: n \in \mathbb N_{>0}\}$ é uma base local para $x$.
9 Seja $\mathcal B$ uma base. Mostre que $\mathcal B_x = \{B \in \mathcal B: x \in B\}$ é uma base local para $x$.Solução
10 Para cada $x \in X$, seja $\mathcal B_x$ base local para $x$. Mostre que $\mathcal B = \bigcup_{x \in X} \mathcal B_x$ é uma base para $X$.Solução
Para esta parte, é melhor você dar uma olhada na lista de axiomas de separação.
11 Este é um roteiro para mostrar que todo espaço regular com base enumerável é normal. Sejam $X$ espaço regular e $\mathcal B$ base enumerável para $X$. Sejam $F, G \subset X$ fechados disjuntos.
11.1 Considere $\mathcal V = \{B \in \mathcal B: B \cap F \neq \emptyset$ e $\overline B \cap G = \emptyset\}$. Note que $\mathcal V$ é enumerável (ou seja, podemos escrever $\mathcal V = \{V_n: n \in \omega\})$.
11.2 De maneira análoga, defina $\{W_n: n \in \omega\} = \mathcal W = \{B \in \mathcal B: B \cap G \neq \emptyset$ e $\overline B \cap F = \emptyset\}$.
11.3 Mostre que $F \subset \bigcup_{n \in \omega} V_n$ e $G \subset \bigcup_{n \in \omega} W_n$.Dica
11.4 Para cada $k \in \omega$, defina $V'_k = V_k \smallsetminus \bigcup_{n \leq k} \overline{W_n}$. Note que $V'_k$ é aberto.
11.5 De maneira análoga, defina $W'_k = W_k \smallsetminus \bigcup_{n \leq k} \overline{V_n}$.
11.6 Defina $V = \bigcup_{k \in \omega} V'_k$ e $W = \bigcup_{k \in \omega} W'_k$. Mostre que $V$ e $W$ são abertos disjuntos tais que $F \subset V$ e $G \subset W$.Solução
11.7 Conclua que $X$ é normal.
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