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Métricas equivalentes
Dado um espaço métrico $(X, d)$, chamamos de $\tau = \{A \subset X: \forall a \in A \ \exists r > 0 \ B_r(a) \subset A\}$ de topologia induzida por $d$.
1.1 Seja $X$ um conjunto. Considere $d: X \times X \to \mathbb R$ dada por
- $d(x, y) = 0$ se $x = y$
- $d(x, y) = 1$ se $x \neq y$.
1.2 Mostre que $d$ é uma métrica sobre $X$. Chamamos tal métrica de métrica discreta.
1.3 Determine $B_{\frac{1}{2}}(x)$, $B_{1}(x)$ e $B_2(x)$ para algum $x \in X$.
1.4 Mostre que todo conjunto $A \subset X$ é aberto na topologia induzida por $d$.
2 Considere $X$ um conjunto. Considere $\tau = \wp(X)$.
2.1 Mostre que $\tau$ é uma topologia sobre $X$. Chamamos tal topologia de topologia discreta.
2.2 Mostre que a métrica discreta induz a topologia discreta.Solução
3 Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Mostre que $\tau$ é a topologia discreta se, e somente se, $\{x\} \in \tau$ para cada $x \in X$.Solução
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $Y \subset X$ é discreto se a topologia de subespaço de $Y$ é a topologia discreta.
4 Considere $\mathbb R$ com a topologia usual. Determines quais destes subespaços são discretos: $\mathbb N$, $\mathbb Z$ e $\mathbb Q$.
Sejam $X$ um conjunto e $d, d': X \times X \to \mathbb{R}$ duas métricas sobre $X$. Dizemos que $d$ e $d'$ são métricas equivalentes se a topologia induzida por ambas é a mesma.
4.1 Considere $d$ a métrica usual sobre $\mathbb R$ e considere $d'$ a métrica discreta. Mostre que $d$ e $d'$ não são equivalentes.
4.2 Considere $X$ um conjunto e sejam $d$ a métrica discreta e $d'$ a métrica dada por
- $d'(x, y) = 0$ se $x = y$
- $d'(x, y) = 2$ se $x \neq y$
Mostre que $d$ e $d'$ são equivalentes.
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