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Jogo de Banach-Mazur e espaços de Baire
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é um espaço/ de Baire; espaço de Baire se qualquer intersecção enumerável de abertos densos em $X$ é densa em $X$.
1 Seja $X$ um espaço de Baire. Mostre que todo aberto $U\subset X$ não vazio é um espaço de Baire. Solução
Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de jogo/ de Banach-Mazur; jogo de Banach-Mazur (ou jogo/ de Choquet; jogo de Choquet) o seguinte jogo entre o Jogador I e o Jogador II: A princípio o Jogador I escolhe $U_0 \in\tau$ não vazio. Então, o Jogador II escolhe $V_0 \in \tau$ tal que $V_0\subset U_0$. Posteriormente, em cada rodada $n \in \omega$, o Jogador I escolhe $U_n \in\tau$ não vazio tal que $U_n\subset V_{n-1}$ e em seguida o Jogador II escolhe $V_n \in \tau$ tal que $V_n\subset U_n$. Dizemos que o Jogador II vence o jogo se $\bigcap_{n \in \omega} V_n\neq \emptyset$. Denotamos este jogo por $BM(X)$.
2 Mostre que o Jogador II vence o jogo $BM(X)$ se e somente se $\bigcap_{n \in \omega} U_n\neq \emptyset$, onde $(U_n:n\in\omega)$ é a sequência de jogadas do Jogador I. Solução
3 Mostre que se o Jogador I não possui estratégia vencedora em $BM(X)$, então $X$ é um espaço de Baire. Solução
Se você pegou os itens Esquemas de conjuntos e $\pi$-base, esta lista é um caminho alternativo para derrotar o boss abaixo. Caso contrário, siga com a leitura.
Seja \(A\) um conjunto e $n\in\omega$. Nesta lista consideraremos \({^n A}\) como o conjunto de todas as funções $f:n\rightarrow A$, ou seja, sequências de comprimento $n$ de elementos de $A$. Note que, em particular, ${^0A}=\{(\,)\}$ (onde $(\,)=\emptyset$).
Se $s=(s_0,\dots,s_n)\in {^{n}A}$ e $a\in A$, então $s^{\smallfrown}a:=(s_0,\dots,s_n,a)$.
4 Seja $\gamma$ uma estratégia para o Jogador I em $BM(X)$. Mostre que se \(t = (V_0,\dots, V_n)\) é uma sequência de abertos no domínio de $\gamma$, então existe uma família maximal \(\mathcal B_t\) de abertos contidos em $\gamma(t)$ tal que \(\{\gamma(t^\smallfrown V):V\in\mathcal B_t\}\) é uma família de abertos dois a dois disjuntos. Dica
5 Mostraremos neste exercício que se $X$ é um espaço de Baire, então o Jogador I não tem estratégia vencedora em $BM(X)$. Para isso, fixe uma estratégia $\gamma$ para o Jogador I e considere a subárvore $T\subset dom(\gamma)$ definida com a seguinte recursão:
- $(\,)\in T$;
- Se $t\in T$, então $t^\smallfrown V\in T$ se, e somente se, $V\in \mathcal B_t$ (onde $\mathcal B_t$ é a família maximal obtida no exercício anterior).
5.1 Mostre que, para todo $t\in T$, $\bigcup_{V\in \mathcal B_t}\gamma(t^\smallfrown V)$ é um aberto denso em $\gamma(t)$. Dica
5.2 Para cada $n\in\omega$, defina $\mathcal A_n = \{t\in T: |t|=n\}$ e \[ A_n=\bigcup_{t\in \mathcal A_n}\gamma(t). \] Mostre que $A_n$ é um aberto denso em $A_0=\gamma((\,))$.Dica
5.3 Mostre que se $t\in \mathcal A_n$ e $s\in\mathcal A_{n+1}$ para algum $n\in\omega$ e $\gamma(t)\cap\gamma(s)\neq\emptyset$, então $s=t^\smallfrown V$ para algum $V\in\mathcal B_t$.Dica
5.4 Finalmente, mostre que se $X$ é um espaço de Baire, então existe $(V_n:n\in\omega)$ tal que $(V_n:n\le k)\in T$ para todo $k\in\omega$ e tal que $\bigcap_{n\in\omega} V_n\neq\emptyset$. Dica Solução
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