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Alguns contra exemplos usando a reta de Sorgenfrey
Esta lista não apresenta conceitos novos, mas fornece vários contra exemplos para as “voltas” de implicações válidas. Vários dos exercícios tem diversas maneiras de resolução. Se você precisa praticar alguns conceitos básicos, esta lista pode ser um bom lugar.
Considere $\mathbb R$ com a topologia que tem como base os conjuntos da forma $\{[a, b[: a, b \in \mathbb R\}$. Chamamos tal espaço de reta/Sorgenfrey; reta de Sorgenfrey e denotamos tal espaço por $\mathbb R_S$.
1 Mostre que todo ponto em $\mathbb R_S$ admite uma base local enumerável.
2 Mostre que produto de dois espaços com base enumerável tem base enumerável (tem uma versão mais forte disso na lista de densos, bases e produtos).
3 Mostre que $\{(x, -x): x \in \mathbb R\} \subset \mathbb R_S \times \mathbb R_S$ é um discreto fechado não enumerável.
4 Mostre que $\mathbb R_S$ não admite base enumerável.
5 Mostre que $\mathbb R_S$ é hereditariamente de Lindelöf. Solução
6 Mostre que $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$ não é de Lindelöf.
7 Mostre que produto de dois espaços separáveis é separável (tem uma versão mais forte disso na lista de densos, bases e produtos).
8 Dê um exemplo de um espaço que seja separável mas que não seja hereditariamente separável.
9 Mostre que $\mathbb R_S$ não é metrizável.
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