Considere $ S \subset \mathbb{R}^n $ e $ a \in S $ um ponto no interior de $ S. $ Seja $ f: S \rightarrow \mathbb{R} $ uma função com derivadas parciais contínuas em $ a. $ Vamos analisar pontos críticos, isto é, pontos tais que $ \nabla f(a) = 0= (0, \cdots, 0). $

Exemplo: Seja $ f(x_1, \cdots, x_n) = x_1^2 + \cdots + x_n^2 $. Então $ \nabla f (x_1, \cdots, x_n) = (2x_1, \cdots, 2x_n) $ e o único ponto crítico é $ a= (0, \cdots, 0). $ Observe que $ a $ é um ponto mínimo local (e global também) da $ f $, pois $ f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}^n. $

De fato: Todo ponto mínimo ou máximo local da $ f $ é um ponto crítico.

Para ver isto, basta observar que se $ a $ é mínimo (máximo) local então é mínimo (máximo) local restringindo em cada direção dos eixos de coordenadas. Ou seja, para cada $ 1 \leq i \leq n $ se definirmos: $ g_i(t) = f(a + t e_i) $ então $ t=0 $ é um ponto mínimo (máximo) local de $ g_i $ e portanto $ g_i^{'}(0) = \frac{\partial f}{\partial x_i} (a) =0. $

Ponto sela simples: Considere $ f(x_1, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{k}x_i^2 - \sum_{i=k+1}^{n} x_i^2. $ Então o ponto $ a=(0, \cdots, 0) $ é o único ponto crítico. Entretanto, em direções $ e_1, \cdots, e_k $ (dos eixos coordenadas) o ponto $ a $ é mínimo e nas direções $ e_{k+1}, \cdots, e_n $ é máximo local.

Primeiramente lembramos da aproximação quadrática (polinômio de Taylor de grau dois no caso de funções de uma variável):

$P_2(x)= f(a) + (x-a)f^{'}(a) + \frac{1}{2!} (x-a)^2 f^{''}(a)$.

Consideramos $ f: S \in \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ e $ a\in S$ um ponto no interior. Lembremos que aproximação linear em torno de $ a $ é dada por:

$ f(a)+ \nabla(f)(a) (x-a) = f(x) + \frac{\partial f}{\partial x} (x_1-a_1) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_2-a_2) $ onde $ x=(x_1, x_2), a=(a_1, a_2).$

Agora se $ f$ for duas vezes diferenciável então consideramos a aproximação de segunda ordem:

$ f(a) + \frac{\partial f}{\partial x} (x_1-a_1) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_2-a_2) + \frac{1}{2!} [ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x_1-a_1)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x_2-a_2)^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{ \partial x \partial y} (a) (x_1-a_1)(x_2-a_2) ]. $

Uma forma compacta de escrever é usar notação de matrizes:

$ f(x)=f(a) + Df(a). [x-a] + [x-a]^t H(a) [x-a] $

onde $ H(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x, y) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(x, y) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x_1}(x, y)& \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(x, y) \end{bmatrix}$

Lembrando que $ Df(a) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) \end{bmatrix}$ e

$ [x-a] = \begin{bmatrix} (x_1 -a_1)\\ (x_2 -a_2) \end{bmatrix}$ e

$ [x-a]^t = \begin{bmatrix} (x_1 -a_1) & (x_2 -a_2) \end{bmatrix}$

Versão com resto de Lagrange:

$ f(x)= f(a) + \frac{\partial f}{\partial x} (x_1-a_1) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_2-a_2) + \frac{1}{2!} \sum_{i, j=1}^{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} f(\xi) (x_i-a_i)(x_j-a_j)$

onde $ \xi$ é um ponto no segmento que conecta $ a$ e $ x.$

Critério de Hessiano (Critério da segunda derivada)

Suponhamos que $ a $ é um ponto crítico de $ f: S \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ e portanto $ \nabla f (a)=0 $ e então pela versão de Taylor com resto de Lagrange, para verificar natureza do ponto $ a $ (se é máximo local, mínimo local ou outro tipo) precisamos analisar o sinal da seguinte expressão:

$ \frac{1}{2!} \sum_{i, j=1}^{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} f(\xi) (x_i-a_i)(x_j-a_j) $

para pontos $ x=(x_1, x_2)$ próximos ao ponto $ (a_1,a_2).$

Denotamos por $ A_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ e $ X_i = x_i -a_i$. Portanto vamos analisar o sinal da seguinte expressão quadrática para valores de $ X_i$ perto de zero:

$ Q(X_1, X_2) = \sum_{i, j=1}^{2} A_{ij} X_i X_j.$

Pelo teorema de Clairaut-Schwarz temos que:

$ Q(X_1, X_2) = A_{11} X_1^2 + 2 A_{12} X_1 X_2 + A_{22} X_2^2.$

Olhando para o discriminante $ \Delta= A_{12}^2 - A_{11}A_{22}$ temos seguintes casos:

Se $ \Delta < 0$ então $ Q(X_1, X_2)$ tem o mesmo sinal que $ A_{11}$ (e também $ A_{22}$) exceto possivelmente quando $ (X_1, X_2) = (0, 0).$

Se $ \Delta > 0$ então $ Q(X_1, X_2)$ terá alteração de sinal.

Vamos analisar melhor o segundo caso:

Se $ A_{11}=A_{22}=0, $ então $ A_{12} \neq 0 $ e portanto o sinal de $ Q(X) = 2A_{12}X_1X_2 $ altera com os sinais de $ X_1, X_2. $ De fato, as retas $ x_1=a_2, x_2=a_2 $ dividem o plano em quatro regiões onde o sinal de $ Q(x_1, x_2) $ altera de sinal entre elas. Neste caso, é claro que o ponto $ a $ é do tipo sela.

Agora suponhamos que pelo menos um dos $ A_{11}, A_{22} $ não se anula. Suponhamos $ \alpha, \beta $ raízes do polinômio quadrático $ A_{11}t^2 + 2A_{12}t+A_{22}=0. $ Podemos escrever

$ Q(X) = A_{11} (X_1 - \alpha X_2) (X_1 - \beta X_2) $

e portanto dependendo da posição relativa entre números $ \frac{X_1}{X_2}$ e as raízes $ \alpha, \beta$ teremos sinais diferentes para expressão $ Q(X).$

De um forma equivalente:

$ Q= A_{11}(x_1- \alpha x_2 -a_1 + \alpha a_2) (x_1 - \beta x_2 - a_1 + \beta a_2)$ e as duas seguintes retas passam pelo ponto $ (a_1, a_2)$ e dividem o plano em quatro regiões onde o sinal de $ Q$ altera:

$ x_1 - \beta x_2 - a_1 + \beta a_2=0, $

$ x_1 - \beta x_2 - a_1 + \beta a_2.$

Neste caso novamente temos um ponto crítico que é do tipo sela.