Topologia e conjuntos em exercícios

1 Seja $f$ de Souslin e $X$ métrico completo. No que segue, vamos impor cumulativamente condições sobre $f$ e obter algumas consequências:

1.1 Defina $T \subset A^{<\omega}$ como os elementos onde $f \neq \emptyset$. Mostre que se $t \in T$ então toda restrição de $t$ também está ¹⁾.

1.2 Mostre que os ramos $\bigcap_{n \in \omega}f(\alpha \upharpoonright n)$ através de $f$, tomados $\alpha \in [T] $ ramos de $T$²⁾, são conjuntos unitários $\{x_\alpha\}$.

1.3 Note que $[T]$ é subespaço da topologia produto. Defina $ \tilde{f}:[T] \to X $ tal que $ \tilde{f}(\alpha) \doteq x_{\alpha} $, mostre que $ \tilde{f} $ é contínua.

1.4 Suponha agora que $f$ é de Lusin, mostre que $\tilde{f}$ é injetora.

1.5 Se $f:A^{<\omega} \to \tau$ toma imagem em abertos de $X$, mostre que $\tilde{f}$ é também inclusão de subespaço.

1.6 Se $f:A^{<\omega} \to \tau$ é de Cantor com $f \neq \emptyset$ então $\tilde{f}$ inclui o espaço de Cantor ³⁾ em $X$.

1.7 Mostre que se, além de tudo isso, $f(\langle \rangle) = X$ e $f(s) = \bigcup_{a \in A} f(s^\frown a)$, então $f$ é homeomorfismo. ⁴⁾

2 Este será um roteiro para o Teorema de Cantor-Bendixson:

2.1 Mostre que se $x \in X$ é ponto isolado e $\mathcal{B}$ é base de $x$, então $\{x\} \in B$.

2.2 Mostre que um espaço polonês pode ser decomposto em $X = A \sqcup B$ (possivelmente vazios) onde $A$ é enumerável discreto e $B$ é polonês sem pontos isolados.

3 Considere $X$ um espaço polonês sem pontos isolados.

3.1 Mostre que existe um esquema aberto de Cantor $f:2^{<\omega} \to \tau$ tal que $f \neq \emptyset$.

3.2 Conclua que todo fechado não enumerável de polonês contém uma cópia do espaço de Cantor.

3.3 Mostre que todo polonês tem cardinalidade $\leq \mathfrak{c}$ que o contínuo. Dica

3.4 Considere a família dos fechados de poloneses. Mostre que se $|F| > \aleph_0$ não é enumerável, então $|F|=\mathfrak{c}$.

4 Tome $X$ um espaço não vazio, compacto, zero-dimensional e sem pontos isolados. Vamos mostrar que $X$ é homeomorfo ao espaço de Cantor.

4.1 Mostre que $X$ tem métrica compatível que o deixa com diâmetro unitário e defina $f(\langle \rangle) \doteq X$.

4.2 Argumente a existência de coberturas finitas via conjuntos de diâmetro estritamente menor que $2^{-n}$.

4.3 Tome um $s$ com $f$-valor cujos sucessores ainda não tem $f$-valor. Seja $f(s)$ um clopen. Argumente que seu diâmetro é positivo. Argumente que $f(s)$ é compacto.

4.4 Decomponha $f(s)$ em finitos clopens $\{B_k\}_{k= 1,\ldots, n}$ disjuntos com diâmetro $\leq \frac{\mathrm{diam} f(s)}{4}$.

4.5 Mostre que não pode ser $n=1$.

4.6 Obtidos $B_1,\ldots,B_n$ acima, faça a bipartição de $f(s)$ em $ f(s^\frown 0) = B_1 $ e $f(s^\frown 1) \doteq B_2 \sqcup \cdots \sqcup B_n $. Bipartimos agora $f(s^\frown 1)$ em $f((s\frown 1)^\frown 0) \doteq B_2$ e $f((s^frown 1)^\frown 0) \doteq B_3 \sqcup \cdots \sqcup B_n$ até terminarmos.

4.7 Argumente que $f$ é esquema aberto de cantor, $f \neq \emptyset$ e cada imagem por $s$ é reunião de das imagens por seus sucessores $s^\frown 0$ e $s^\frown 1$.

4.8 Conclua que $\tilde{f}$ será homeomorfismo.

5 Considere a construção do conjunto de Cantor na lista anterior munido da topologia induzida pela reta. Mostre que este espaço topológico tem todas as propriedades da caracterização anterior e, portanto, é realização homeomorfa ao espaço de Cantor como subespaço da reta.

6 Considere $ 0 \leq k_n \in \omega$, tal que $C \doteq \{n \in \omega \, : \,k_n > 1\}$ é cofinal ⁵⁾, mostre que $\prod k_n$ é homeomorfo ao espaço de Cantor.

7 [Não trivial] Use a mesma técnica para mostrar que $\omega^\omega$ é, a menos de homeomorfismo, o único espaço topológico não vazio, polonês, zero-dimensional e tal que todo subespaço compacto tem interior vazio e, analogamente, argumente que ele é isomorfo aos irracionais.