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CH e $\mathbb R^2$
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de boa ordem.
CH (hipótese/contínuo; hipótese do contínuo) é a afirmação: existe $\preceq$ uma boa ordem sobre $\mathbb R$ tal que, para todo $x \in \mathbb R$, $\{y \in \mathbb R: y \preceq x\}$ é enumerável.
Considere $X \subset \mathbb R^2$. Denotamos, dado $y \in \mathbb R$, $H(A, y) = \{x \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. Analogamente, dado $y \in \mathbb R$, denotamos por $V(A, x) = \{y \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$.
1 Suponha CH. Então existe um conjunto $A \subset \mathbb R^2$ tal que $H(A, y)$ é enumerável para todo $y \in \mathbb R$ e $V(\mathbb R^2 \smallsetminus A, x)$ é enumerável para todo $x \in X$. DicaSolução
2 Suponha que existe $A \subset \mathbb R^2$ tal que $H(A, y)$ é enumerável para todo $y \in \mathbb R$ e $V(\mathbb R^2 \smallsetminus A, x)$ é enumerável para todo $x \in \mathbb R$. Mostre que vale CH.DicaSolução
Use no próximo exercício que se $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ é tal que $\{x: f(x) \neq 0\}$ é enumerável, então $\int_0^1 f(x)dx = 0$ e que se $\{x: f(x) \neq 1\}$ é enumerável, então $\int_0^1 f(x) = 1$.
3 Este exercício é para mostrar um caso patológico para o Teorema de Fubini.
3.1 (CH) Mostre que existe $f: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ tal que:
a) $f_x: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ dada por $f_x(y) = f(x, y)$ é tal que $\int_0^1 f_x(y)dy = 1$.
b) $f_y: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ dada por $f_y(x) = f(x, y)$ é tal que $\int_0^1 f_y(x)dx = 0$.
3.2 Note que, assim, temos que $$\int_0^1\int_0^1 f(x, y) dx dy = 0 \text{ e } \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) dy dx = 1$$
Esta lista foi baseada no livro Set Theory for the Working Mathematician de Krzysztof Ciesielski.
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