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Sequências de Cauchy e completude
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de sequências.
Seja $(X, d)$ espaço métrico. Dizemos que uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é uma sequência/Cauchy; sequência de Cauchy se, para todo $\varepsilon \in \mathbb R_{>0}$ existe $n_0 \in \mathbb N$ tal que, se $m, n \geq n_0$ então $d(x_n, x_m) < \varepsilon$.
1 Mostre que toda sequência convergente é uma sequência de Cauchy.Solução
2 Mostre que se $(x_n)_{n \in \omega}$ é uma sequência de Cauchy, então $\{x_n: n \in \omega\}$ é um conjunto limitado.
3 Joãozinho acha que a definição de sequência de Cauchy poderia ser: para todo $\varepsilon > 0$, existe $n_0$ tal que, para todo $n > n_0$, $d(x_n, x_{n + 1}) < \varepsilon$. Joãozinho está certo?
4 Considere $X = ]0, +\infty[$ com a métrica usual. Mostre que $(\frac{1}{n +1})_{n \in \mathbb N}$ é uma sequência de Cauchy que não é convergente.
5 Mostre que toda subsequência de uma sequência de Cauchy é uma sequência de Cauchy.
6 Seja $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ sequência de Cauchy. Mostre que, se $(x_{n_k})_{k \in \mathbb N}$ é uma subsequência convergente para $x$, então $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é também uma sequência convergente para $x$.Solução
Seja $(X, d)$ espaço métrico. Dizemos que $X$ é espaço/completo; completo se toda sequência de Cauchy é convergente.
7 Seja $(X, d)$ métrico. Seja $F \subset X$ subespaço completo. Mostre que $F$ é fechado.Solução
8 Seja $(X, d)$ completo. Mostre que se $F \subset X$ é fechado, então $F$ é completo.
9 Mostre que $(X,d)$ é completo se, e somente se, toda intersecção de fechados $(F_n)$ não vazios tais que:
- Eles são encaixados : $F_{n+1} \subset F_{n}$.
- Eles encolhem até quase desaparecer: $\mathrm{diam}(F_n) \to 0$.
é um unitário $\bigcap F_n = \{x\}$.
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