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Axiomas de separação
Só a definição de topologia não garante uma “riqueza” de abertos (por exemplo, podemos ter sobre qualquer $X$ a topologia que só contém como abertos o espaço todo e $\emptyset$. Os axiomas nesta lista garantem a existência de determinados abertos.
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço espaço/$T_0$; $T_0$ se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existe um aberto $A$ tal que “$x \in A$ e $y \notin A$” ou “$x \notin A$ e $y \in A$”.
1 Dê um exemplo de espaço que seja $T_0$ e de um que não seja $T_0$. Solução
2 Mostre que todo subespaço de um espaço $T_0$ é um espaço $T_0$.Solução
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço espaço/$T_1$;$T_1$ se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existe um aberto $A$ tal que $x \in A$ e $y \notin A$.
3 Mostre que todo espaço $T_1$ é $T_0$
4 Dê um exemplo de um espaço $T_0$ que não seja $T_1$.Solução
5 Mostre que $(X, \tau)$ é $T_1$ se, e somente se, para cada $x \in X$, temos que $\{x\}$ é fechado.Solução
6 Mostre que todo espaço finito $T_1$ tem a topologia discreta.Solução
7 Mostre que todo subespaço de um espaço $T_1$ é um espaço $T_1$.
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço espaço/$T_2$; $T_2$ ou espaço/Hausforff; espaço de Hausdorff se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $y \in B$.
8 Mostre que todo espaço de Hausdorff é $T_1$.
9 Mostre que todo espaço métrico é de Hausdorff.Solução
10 Mostre que todo subespaço de um espaço de Hausdorff é um espaço de Hausdorff.
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço espaço/$T_3$; $T_3$ se, para todo $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tais que $x \notin F$, existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $F \subset B$. Dizemos que $X$ é um espaço/regular; espaço regular se $X$ é $T_1$ e $T_3$.
11 Mostre que $\mathbb R$ com a topologia usual é regular.
12 Mostre que todo espaço regular é de Hausdorff. Solução
13 Mostre que todo subespaço de um espaço regular é um espaço regular.
14 Mostre que são equivalentes: Solução
- $X$ é $T_3$;
- para todo $x \in X$ e todo $A$ aberto tal que $x \in A$ temos que existe $V$ aberto tal que $x \in V \subset \overline V \subset A$.
15 Mostre que são equivalentes:
- $X$ é $T_3$;
- todo $x \in X$ admite sistema fundamental de vizinhanças fechadas.
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço espaço/$T_4$; $T_4$ se, para todo $F \subset X$ e $G \subset X$ fechados disjuntos, existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A$ e $G \subset B$. Dizemos que $X$ é um espaço/normal; espaço normal se $X$ é $T_1$ e $T_4$.
16 Mostre que todo espaço normal é regular. Solução
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