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Jogo $\mathsf G_1(\mathsf{\Omega_x}, \mathsf{\Omega_x})$
Provavelmente você vai querer dar uma olhada nos resultados da lista de enumerabilidade e na lista de sequências.
Denotamos por $\mathsf{G_1}(\mathsf A, \mathsf B)$ o seguinte jogo entre os jogadores I e II. A cada rodada $n \in \omega$, temos:
- O jogador I escolhe $\mathcal C_n \in \mathsf A$;
- O jogador II escolhe $C_n \in \mathcal C_n$.
Dizemos que o jogador II venceu o jogo se $\{C_n: n \in \omega\} \in \mathsf B$.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico e seja $x \in X$. Denotamos por $\mathsf{\Omega_x} = \{A \subset X: x \in \overline A\}$. Assim, o jogo $\mathsf{G_1}(\mathsf{\Omega_x}, \mathsf{\Omega_x})$ é tal que, a cada rodada, o jogador I escolhe um conjunto que tem $x$ em seu fecho e o jogador II escolhe um ponto deste conjunto. O jogador II vence se os pontos escolhidos tiverem $x$ em seu fecho.
1 Seja $x \in X$ tal que $x$ admite uma base local enumerável. Mostre que o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf{G_1}(\mathsf{\Omega_x}, \mathsf{\Omega_x})$.
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $x \in X$ tem tightness / enumerável; tightness enumerável se, para qualquer $A \subset X$ tal que $x \in \overline A$, temos que existe $A' \subset A$ enumerável tal que $x \in \overline{A'}$.
2 Mostre que, se o jogador I não tem estratégia vencedora no jogo $\mathsf{G_1}(\mathsf{\Omega_x}, \mathsf{\Omega_x})$, então $x$ tem tightness enumerável.
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $x \in X$. Chamamos de jogo/vizinhança-ponto; jogo vizinhança-ponto o seguinte jogo entre os jogadores I e II. A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $V_n$ um aberto tal que $x \in V_n$. Então o jogador II escolhe $x_n \in V_n$. No final do jogo, dizemos que I venceu a partida se $x \in \overline{\{x_n: n \in \omega\}}$.
3 Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo vizinhança-ponto, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf \Omega_x, \mathsf \Omega_x)$.
4 Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf \Omega_x, \mathsf \Omega_x)$, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo vizinhança-ponto.
5 Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II no jogo vizinhança-ponto. Mostre que $x \in \overline{\{\sigma(V): x \in V\text{ e $V$ é aberto}\}}$.
6 Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II no jogo vizinhança-ponto. Sejam $V_1, \ldots, V_n$ vizinhanças abertas de $x$. Mostre que $x \in \overline{\{\sigma(V_1, \ldots, V_n, V): x \in V \text{ e $V$ é aberto}\}}$.
7 Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo vizinhança-ponto, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf \Omega_x, \mathsf \Omega_x)$.
8 Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II em $\mathsf G_1(\mathsf \Omega_x, \mathsf \Omega_x)$. Mostre que existe $V$ vizinhança aberta de $x$ tal que para qualquer $y \in V$ existe $A \in \Omega_x$ tal que $y = \sigma(A)$.
9 Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf \Omega_x, \mathsf \Omega_x)$, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo vizinhança-ponto.
Quando acontece uma situação como a descrita acima, em que as estratégias se invertem de um jogador para o outro entre dois jogos (I tem estratégia vencedora em um se, e somente se, II tem no outro etc.) dizemos que os jogos são jogos/duais;duais. Este resultado é inspirado no resultado apresentado na lista Os jogos ponto-aberto e finito-aberto.
Uma versão mais geral da dualidade acima pode ser encontrada aqui, no Teorema 3.10.
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