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Compactos $\times$ Métricos
Nessa lista, trataremos principalmente de compactos em espaços métricos. Para resolver os exercícios, considere a topologia analisada como sendo a induzida pela métrica dada.
Serão úteis os conceitos das listas de fechados, compactos e de sequências de Cauchy.
1 Seja $(X, d)$ espaço métrico compacto. Nesse sentido, mostre que todo subconjunto infinito de $X$ admite um ponto de acumulação. Solução
2 Seja $(X, d)$ espaço métrico no qual todo subconjunto infinito de $X$ admite ponto de acumulação. Nesse sentido, mostre que toda sequência de elementos de $X$ admite subsequência convergente. Solução
3 Seja $(X, d)$ espaço métrico no qual toda sequência de elementos de $X$ admite subsequência convergente. Então, mostre que para toda cobertura aberta $\mathcal{C}$ sobre $X$, existe $r > 0$ tal que, para todo $x \in X$, existe $C \in \mathcal{C}$ tal que $B_{r}(x) \subset C$. Solução
4 Seja $(X, d)$ espaço métrico no qual toda sequência de elementos de $X$ admite subsequência convergente. Então, mostre que $X$ é compacto.Dica Solução
Observe que esses exercícios nos mostram que, dado $(X,d)$ espaço métrico, são equivalentes:
- $X$ é compacto;
- Todo subconjunto infinito de elementos de $X$ admite ponto de acumulação;
- Toda sequência de elementos de $X$ admite subsequência convergente.
5 Mostre que todo espaço métrico compacto é completo. Solução
Dado $(X,d)$ espaço métrico, dizemos que $A \subset X$ é um conjunto totalmente/limitado;totalmente limitado, se, para todo $\epsilon > 0$, existe $F \subset A$ finito tal que $A \subset \bigcup_{x \in F} B_{\epsilon}(x)$.
6 Mostre que, dado $(X, d)$ espaço métrico em que $X$ é totalmente limitado, $Y \subset X$ é também totalmente limitado. Solução
7 Mostre que, dado $(X, d)$ espaço métrico compacto, $X$ é completo e totalmente limitado. Solução
8 Vamos apresentar um roteiro para mostrar que, se $(X,d)$ é um espaço métrico completo e totalmente limitado, então $(X,d)$ é compacto.
8.1 Tomemos $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de elementos de $X$. Mostre que, se $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ for finito, então $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admite subsequência convergente. Solução
8.2 Suponhamos, assim, $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ infinito. Como $X$ é totalmente limitado, $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ também o é. Consideremos $\epsilon_0 = 1$ e $F_0 \subset \{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ finito tal que $\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \subset \bigcup_{x \in F_0}B_{\epsilon_0}(x)$. Mostre que, para algum $x_{n_0} \in F_0$, $B_{\epsilon_0}(x_{n_0}) \cap \{a_n:n \in \mathbb{N}\}$ é infinito.
8.3 Esse processo será repetido, de modo que, para cada $k \geq 1$, tomaremos $\epsilon_{k} = \frac{1}{k+1}$ e escolheremos $F_k$ finito de forma que $\{a_n : n > n_{k-1}\} \subset \bigcup_{x \in F_k}B_{\epsilon_k}(x)$. Daí, escolhemos $a_{n_k} \in F_k$ de forma que $B_{\epsilon_k}(a_{n_k}) \cap \{a_n :n > n_k\}$ seja infinito. Mostre que a subsequência $(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ é uma sequência de Cauchy. Solução
8.4 Conclua que $X$ é compacto.
Observe que esses dois últimos resultados nos mostram que $(X,d)$ é um espaço métrico compacto se, e somente se, é completo e totalmente limitado. Como corolário, segue o resultado abaixo:
9 Mostre que, dado $(X, d)$ espaço métrico completo, $A \subset X$ é compacto se, e somente se, $A$ é fechado e totalmente limitado. Solução
10 Mostre que, dado $(X, d)$ espaço métrico completo, se $A \subset X$ é totalmente limitado, então $\bar{A}$ é compacto. Solução
11 Note que, de fato, precisamos de um conceito como “totalmente limitado”: dê um exemplo de um espaço métrico limitado que não seja compacto.
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