Topologia e conjuntos em exercícios

1 Para cada $n \in \omega$, seja $(X_n, \tau_n)$ espaço topológico. Se cada $X_n$ tem base enumerável, mostre que $\prod_{n \in \omega} X_n$ tem base enumerável.

2 Este é um roteiro para mostrar que $\prod_{a \in A} \omega$ é separável, se $|A| \leq \mathfrak c = |\mathbb R|$ (estamos considerando $\omega$ com a topologia usual, isto é, a discreta).

2.1 Primeiramente, note que podemos supor $A \subset \mathbb R$.

2.2 Considere $\mathcal B_0 = \{]p, q[ \cap A: p, q \in \mathbb Q\}$. Note que $\mathcal B_0$ é enumerável.

2.3 Para cada $n > 0$, seja $\mathcal B_n$ a coleção de todos os conjuntos que podem ser dados como uma união de exatamente $n$ elementos de $\mathcal B_0$ dois a dois disjuntos. Note que $\mathcal B_n$ é enumerável.

2.4 Fixe $n \in \omega_{\geq 1}$. Para cada $(a_1, \ldots, a_n) \in \omega^n$ e cada $\{J_1, \ldots, J_n\} \in \mathcal B_n$ (vamos supor $J_i < J_j$ se $i < j$, isto é, todo elemento de $J_i$ é menor que todo elemento de $J_j$), defina $f_{(a_1, \ldots, a_n), \{J_1, \ldots, J_n\}}: A \rightarrow \omega$ por $$f_{(a_1, \ldots, a_n), \{J_1, \ldots, J_n\}}(\alpha) = a_i \text{se $\alpha \in J_i$}$$ $$f_{(a_1, \ldots, a_n), \{J_1, \ldots, J_n\}}(\alpha) = 0 \text{se $\alpha \notin J_i$}$$

2.5 Mostre que o conjunto de todas as funções acima (com $n$ fixado) é enumerável. Defina $D$ o conjunto de todas estas funções (com $n$ variando). Note que $D$ é enumerável.

2.6 Mostre que $D$ é denso em $\prod_{a \in A} \omega$. Solução

3 Este é um roteiro para mostrar que, se cada $(X_a, \tau_a)$ é um espaço separável, então $\prod_{a \in A} X_a$ é um espaço separável se $|A| \leq \mathfrak c$.

3.1 Para cada $a \in A$, fixe $D_a \subset X_a$ denso enumerável. Mostre que $\prod_{a \in A} D_a$ é denso em $\prod_{a \in A} X_a$

3.2 Para dada $a \in A$, fixe $\varphi_a: \omega \rightarrow D_a$ bijeção. Note que cada $\varphi_a$ é contínua.

3.3 Defina $\varphi: \prod_{a \in A} \omega \rightarrow \prod_{a \in A} D_a$ com $\varphi((a_n)_{n \in \omega}) = ((\varphi_n(a_n))_{n \in \omega})$. Mostre que $\varphi$ é contínua.

3.4 Conclua que $\prod_{a \in A} D_a$ é separável e que, portanto, $\prod_{a \in A} X_a$ também é.

4 Este é um roteiro para mostrar que $2^\kappa$ não é separável se $\kappa > \mathfrak c$.

4.1 Suponha que $D$ seja um denso enumerável em $2^\kappa$. Para cada $\xi < \kappa$, defina $D_\xi = \{f \in 2^\kappa: f(\xi) = 0\} \cap D$. Mostre que cada $D_\xi \neq \emptyset$.

4.2 Mostre que se $\xi \neq \eta$, então $D_\xi \neq D_\eta$.Dica

4.3 Obtenha uma contradição.