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Número de Lebesgue
Provavelmente é melhor você fazer as listas de compactos e a de funções contínuas antes dessa.
Dada uma cobertura $\mathcal C$ para um métrico $X$, dizemos que $\lambda \in \mathbb R_{>0}$ é um número de Lebesgue para tal cobertura se, para todo $F \subset X$ com diâmetro menor que $\lambda$, existe $C \in \mathcal C$ tal que $F \subset C$.
1 Mostre que $\{]0, \frac{1}{n + 1}[: n \in \mathbb N\}$ é uma cobertura para $]0, 1[$ que não admite um número de Lebesgue.
2 Este é um roteiro para mostrar que se $X$ é compacto, então toda cobertura admite um número de Lebesgue.
2.1 Dada uma cobertura aberta $\mathcal C$ para $X$, por compacidade, existem $C_1, \ldots, C_n \in \mathcal C$ que formam uma subcobertura. Note que todo número de Lebesgue de tal cobertura é um número de Lebesgue da cobertura original;
2.2 Para cada $i = 1, \ldots, n$, defina $f_i: X \to \mathbb R$ como $f_i(x) = d(x, X \setminus C_i)$ . Note que cada $f_i$ é contínua;
2.3 Defina $f: X \to \mathbb R$ como $f(x) = \max\{f_1, \ldots, f_n\}$. Note que $f$ é contínua e $f(x) > 0$ para todo $x$.
2.4 Note que $f$ admite mínimo. Use ele para encontrar um número de Lebesgue.
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