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Funções contínuas
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos. Dizemos que $f: X \rightarrow Y$ é uma função /contínua; função contínua se, para todo $A$ aberto em $Y$ (isto é $A \in \rho$) temos que $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$ (isto é, $f^{-1}[A] \in \tau$), onde $f^{-1}[Z] = \{x \in X: f(x) \in Z\}$ (Atenção: Isso não quer dizer que $f$ tenha inversa - a notação só é parecida).
Um jeito curto de ler a definição anterior é: “uma função é contínua se imagem inversa de aberto é aberta”.
1 Sejam $(X_1, \tau_1)$, $(X_2, \tau_2)$ e $(X_3, \tau_3)$ espaços topológicos e $f: X_1 \rightarrow X_2$ e $g: X_2 \rightarrow X_3$ funções contínuas. Mostre que $g \circ f$ (função composta) é contínua ($(g \circ f)(x) = g(f(x))$). Solução
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos e seja $x \in X$. Dizemos que $f: X \rightarrow Y$ é função/contínua no ponto; contínua no ponto $x$ se para todo aberto $A \in \rho$ tal que $f(x) \in A$, existe um aberto $B \in \tau$ tal que $x \in B$ e $f[B] \subset A$, onde $f[B] = \{f(z): z \in B\}$.
2 Mostre que $f: X \rightarrow Y$ é contínua se, e somente se, $f$ é contínua no ponto $x$, para todo $x \in X$.Solução
3 Sejam $(X, d)$ e $(Y, d')$ espaços métricos. Mostre que $f: X \rightarrow Y$ é contínua (com relação às topologias induzidas pelas métricas) no ponto $x \in X$ se, e somente se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que, para todo $z \in X$ com $d(x, z) < \delta$ temos $d'(f(x), f(z)) < \varepsilon$.
4 Escreva a afirmação de uma função $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ser contínua só usando $\varepsilon$'s, $\delta$'s e $|\cdot|$ (módulo). (ou seja, escreva a definição que se costuma ver em cursos de Cálculo).
5 Mostre que $f: X \to Y$ é contínua se, e somente se, $f^{-1}[F]$ é fechado para todo $F \subset Y$ fechado.
6 Seja $X = \bigcup_{i = 1}^n F_i$ onde cada $F_i$ é fechado. Seja $f: X \to Y$ uma função.
6.1 Note que se $f$ é contínua, $f \upharpoonright F_i$ é contínua.
6.2 Mostre que se cada $f \upharpoonright F_i$ é contínua, então $f$ é contínua.
6.3 Dê um exemplo para mostrar que no item anterior a hipótese de cada $F_i$ ser fechado é necessária.
7 Sejam $f, g: X \to \mathbb R$ funções contínuas.
7.1 Mostre que $s(x) = f(x) + g(x)$ é contínua;
7.2 Mostre que $M(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ é contínua.
8 Seja $(X, d)$ espaço métrico.
8.1 Fixado $x \in X$, mostre que $d_x: X \to \mathbb R$ dada por $d_x(y) = d(x, y)$ é uma função contínua;
8.2 Dado $A \subset X$ não vazio, defina $d_A: X \to \mathbb R$ dada por $d_A(x) = \inf\{d(x, a): a \in A\}$. Mostre que $d_A$ é contínua;
8.3 Se $A \subset X$ é fechado, mostre que $d_A(x) = 0$ se, e somente se, $x \in A$.
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