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Compactos
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal C$ é uma cobertura para $X$ se $\bigcup_{C \in \mathcal C} C = X$. Dizemos que uma cobertura $\mathcal C$ é uma cobertura/aberta; cobertura aberta se cada elemento de $\mathcal C$ é aberto. Dizemos que $\mathcal C' \subset \mathcal C$ é uma subcobertura de $\mathcal C$ se $\mathcal C$ também é uma cobertura.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é compacto se para toda cobertura aberta $\mathcal C$ existe uma subcobertura finita.
1 Mostre que todo espaço finito é compacto.
2 Seja $(X, \tau)$ espaço topológico e $\mathcal B$ base para $X$. Mostre que são equivalentes:Solução
- $X$ é compacto
- Toda cobertura $\mathcal C$ tal que todo $C \in \mathcal C$ é tal que $C \in \mathcal B$, temos que $\mathcal C$ tem subcobertura finita.
3 Sejam $Y \subset X$. Mostre que $Y$ é compacto se, e somente se, para toda família $\mathcal C$ de abertos de $X$ tal que $Y \subset \bigcup_{C \in \mathcal C} C$, existe uma subfamília $\mathcal C' \subset \mathcal C$ finita tal que $Y \subset \bigcup_{C \in \mathcal C'} C$ Solução
4 Seja $f: X \rightarrow Y$ função contínua. Mostre que se $X$ é compacto, então $f[X]$ é compacto.Solução
5 Seja $F \subset X$ fechado. Mostre que se $X$ é compacto, então $F$ é compacto.Solução
6 Seja $X$ espaço de Hausdorff. Mostre que se $K \subset X$ é compacto, então $K$ é fechado.DicaSolução
7 Considere $[0, 1]$ com a topologia usual. Seja $\mathcal C$ cobertura aberta para $[0, 1]$.
7.1 Defina $A = \{x \in [0, 1]:$ existe $\mathcal C' \subset \mathcal C$ finito tal que $\bigcup_{C \in \mathcal C'}C \supset [0, x]\}$. Mostre que $A \neq \emptyset$.
7.2 Seja $\alpha = \sup A$ (existe, certo?). Mostre que $\alpha \geq 1$ (e, portanto, $\alpha = 1$).Dica
7.3 Mostre que $1 \in A$.
7.4 Conclua que $[0, 1]$ é compacto.
8 Mostre que são equivalentes: Solução
- $X$ é compacto;
- Toda cobertura aberta $\mathcal C$ para $X$ fechada por uniões finitas é tal que $X \in \mathcal C$.
Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Dizemos que $\mathcal F$ é uma família/centrada;família centrada se, para qualquer $\mathcal F' \subset \mathcal F$ finito, temos que $\bigcap_{F \in \mathcal F'} F \neq \emptyset$.
9 Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Mostre que são equivalentes:Dica Solução
- $X$ é compacto.
- Toda família centrada $\mathcal F$ de fechados de $X$ é tal que $\bigcap_{\mathcal F} F \neq \emptyset$.
Seja $(X, d)$ métrico. Dizemos que $A \subset X$ é conjunto/limitado; limitado se existem $x \in X$ e $r \in \mathbb R_{>0}$ tais que $A \subset B_r(x)$.
10 Mostre que todo intervalo fechado e limitado em $\mathbb R$ é compacto. Solução
11 Seja $(X, d)$ espaço métrico. Mostre que se $A \subset X$ não é limitado, então $A$ não é compacto.Solução
12 Mostre que $K \subset \mathbb R$ é compacto se, e somente se, $K$ é fechado e limitado.
13 Seja $K$ espaço compacto. Mostre que, se $f: K \rightarrow \mathbb R$ é uma função contínua, então existem $a, b \in K$ tais que $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ para todo $x \in K$ (nesse caso, dizemos que $f$ tem máximo e mínimo).Solução
14 Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff. Mostre que, dado $x \in X$ e $K \subset X$ compacto tais que $x \notin K$, existem $A, B$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $K \subset B$.DicaSolução
15 Mostre que todo compacto de Hausdorff é normal.Solução
16 Sejam $X$ e $Y$ de Hausdorff. Seja $f: X \rightarrow Y$ função contínua, onde $X$ é compacto. Mostre que se $f$ é bijetora, então $f$ é um homeomorfismo.
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