Topologia e conjuntos em exercícios

1 Seja $X$ um espaço de Lindelöf. Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador I no jogo $G_1(O, O)$. Considere $\sigma = \{A_s: s \in ^{<\omega}\omega\}$ de forma que, para qualquer $s \in ^{<\omega}\omega$, $\{A_{s \smallfrown n}: n \in \omega\}$ seja a cobertura jogada por $\sigma$ após o jogador II escolher $A_s$ na rodada anterior (já estamos supondo que I só vai jogar coberturas enumeráveis).

1.1 Mostre que, para todo $x \in X$ o conjunto $D_x = \{s \in ^{< \omega}\omega: x \in A_s\}$ é denso (considere em $^{<\omega}\omega$ a ordem dada por $\supset$).

1.2 Mostre que se $F$ é um filtro na ordem acima, então $F$ está contido num ramo da árvore $^{< \omega}\omega$.

1.3 Suponha o axioma de Martin. Mostre que se $|X| < \mathfrak c$, então o jogador I não tem uma estratégia vencedora.

2 Supponha o axioma de Martin. Mostre que se $X$ é um espaço de Lindelöf tal que existe uma família $(K_\xi)_{\xi < \kappa}$ com $\kappa < \mathfrak c$ tal que cada $K_\xi$ é compacto e $X = \bigcup_{\xi < \kappa} K_\xi$, então $X$ é de Menger. Solução

3 Mostre que se $X$ é hereditariamente separável, então os jogos $G_1(D, D)$ e $G_1(D^*, D^*)$ são equivalentes, onde $D^*$ é o conjunto dos densos enumeráveis.

4 Suponha o axioma de Martin. Mostre que se $X$ é hereditariamente separável e $X$ tem uma base $\mathcal B$ tal que $|\mathcal B| < \mathfrak c$, então o jogador I não tem uma estratégia vencedora para o jogo $G_1(D, D)$.