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Jogo $\mathsf G_1(\mathsf D, \mathsf D)$
Provavelmente você vai querer dar uma olhada nos resultados da lista de enumerabilidade e na lista de densos.
Denotamos por $\mathsf{G}_1(\mathsf A, \mathsf B)$ o seguinte jogo entre os jogadores I e II. A cada rodada $n \in \omega$, temos:
- O jogador I escolhe $\mathcal C_n \in \mathsf A$;
- O jogador II escolhe $C_n \in \mathcal C_n$.
Dizemos que o jogador II venceu o jogo se $\{C_n: n \in \omega\} \in \mathsf B$.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Denotamos por $\mathsf D = \{D \subset X: D$ é denso em $X\}$. Assim, o jogo $\mathsf G_1(\mathsf D, \mathsf D)$ é jogado de maneira tal que, a cada rodada, o jogador I escolhe um denso e o jogador II escolhe um ponto deste denso. O jogador II vence se os pontos escolhidos formarem um denso.
1 Seja $X$ espaço onde o jogador I não tem estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf D, \mathsf D)$. Mostre que $X$ é separável.
2 Seja $X$ espaço onde o jogador I não tem estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf D, \mathsf D)$. Seja $D \subset X$ denso. Mostre que $D$ é separável.
3 Seja $X$ espaço com base enumerável. Mostre que o jogador II tem estratégia vencedora em $\mathsf G_1(\mathsf D, \mathsf D)$.Solução
Considere $\mathbb R$ com a topologia que tem como base os conjuntos da forma $\{[a, b[: a, b \in \mathbb R\}$. Chamamos tal espaço de reta/Sorgenfrey; reta de Sorgenfrey e denotamos tal espaço por $\mathbb R_S$.
4 Mostre que o jogador II tem estratégia vencedora para o jogo $\mathsf G_1(\mathsf D, \mathsf D)$ jogado em $\mathbb R_S$ (é possível mostrar que $\mathbb R_S$ não tem base enumerável, veja a lista de alguns contra exemplos usando a reta de Sorgenfrey). Dica
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