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Axioma de Martin (versão topológica)
Provavelmente você vai querer ver os resultados das listas do axioma de Martin e do Teorema de Baire.
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é c.c.c. se não existe uma família não enumerável de abertos de $X$ dois a dois disjuntos.
1 Mostre que todo espaço separável é c.c.c.
2 Mostre que, se $X$ é c.c.c. e $V$ é aberto em $X$, então $\overline V$ é c.c.c.
3 Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico compacto, Hausdorff e c.c.c. Considere a ordem parcial $(P, \leq)$ onde $P = \{A \in \tau: A \neq \emptyset\}$ e $A \leq B$ se $\overline A \subset B$.
3.1 Seja $A$ aberto denso em $X$. Mostre que $D = \{B \in P: \overline B \subset A\}$ é denso em $P$.
3.2 Suponha o axioma de Martin. Mostre que, dada uma família de abertos densos $(A_\xi)_{\xi < \kappa}$ onde $\kappa < \mathfrak c$, temos que $\bigcap_{\xi < \kappa} A_\xi \neq \emptyset$.
3.3 Suponha o axioma de Martin. Mostre que intersecção de menos que contínuo abertos densos de $X$ é densa.
Na sequência, vamos mostrar que a formulação acima de fato é equivalente ao Axioma de Martin. Para isso, talvez seja melhor olhar a Lista da dualidade de Stone.
4 Seja $(P, \leq)$ uma ordem. Para cada $p \in P$, seja $A_p = \{q \in P: q \leq p\}$
4.1 Mostre que $\{A_p: p \in P\}$ é uma base para uma topologia sobre $P$.
Dizemos que um aberto $A$ é um aberto regular se o interior de $\overline A$ é o próprio $A$.
4.2 Mostre que o conjunto dos abertos regulares num espaço topológico é uma álgebra de Boole. Considere como complementar o interior do complementar e como soma o interior do fecho da união.
4.3 Mostre que $\varphi(p) = $int$(\overline{\{q \in P: q \leq p\}})$ tem imagem densa na álgebra de Boole dos abertos regulares.
4.4 Suponha que todo $(X, \tau)$ espaço topológico compacto, Hausdorff e c.c.c. é tal que intersecção de menos que contínuo abertos densos é densa. Mostre que vale o axioma de Martin.
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