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Enumeravelmente compactos
Dizemos que $(X, \tau)$ é enumeravelmente compacto se toda cobertura aberta enumerável admite subcobertura finita.
1 Mostre que $X$ é compacto se, e somente se, $X$ é de Lindelöf e enumeravelmente compacto.Solução
2 Seja $X$ enumeravelmente compacto. Mostre que se $F \subset X$ é fechado, então $F$ é enumeravelmente compacto. Solução
3 Seja $X$ espaço $T_1$. Mostre que $X$ é enumeravelmente compacto se, e somente se, todo conjunto infinito de $X$ admite ponto de acumulação. Solução
Dizemos que $(X, \tau)$ é pseudocompacto se, para toda $f: X \rightarrow \mathbb R$ contínua, temos que $f[X]$ é limitado.
4 Mostre que se $X$ é enumeravelmente compacto, então $X$ é pseudocompacto.DicaSolução
5 Mostre que se $X$ é normal, então todo pseudocompacto é enumeravelmente compacto.DicaSolução
Para ver que a normalidade é necessária no exercício anterior, veja esta lista.
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