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Axioma de Martin
Dizemos que uma relação $\leq$ sobre um conjunto $P$ é uma pré-ordem se, para quaisquer $a, b, c \in P$ temos:
- $a \leq a$;
- se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$.
1 Dê um exemplo de uma pré-ordem que não seja uma ordem.Solução
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $F \subset P$ é um filtro/sentido de pré-ordem; filtro se $F \neq \emptyset$ e:
- $F \neq P$ (condição de não trivialidade);
- se $p, q \in F$, então existe $r \leq p, q$ tal que $r \in F$;
- se $p \in F$ e $q \in P$ é tal que $p \leq q$, então $q \in F$.
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $p, q \in P$ são incompatíveis se não existe $r \in P$ tal que $r \leq p, q$. Notação: $p \bot q$.
Dizemos que uma pré-ordem $(P, \leq)$ é separativa se, para todo $p \in P$ existem $q, r \leq p$ tais que $q \bot r$. A menos de menção contrária, sempre estaremos supondo que as pré-ordens dadas são separativas e não vazias.
2 Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Seja $F \subset P$ um conjunto tal que, para todo $a, b \in F$, existe $c \in F$ tal que $c \leq a, b$. Mostre que existe um filtro $G \subset P$ tal que $F \subset G$. Solução
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem e $D \subset P$. Dizemos que $D$ é denso/sentido de pré-ordem; denso em $P$ se, para todo $p \in P$ existe $d \in D$ com $d \leq p$.
3 Seja $(D_n)_{n \in \omega}$ uma família de densos. Mostre que existe $F$ filtro tal que $F \cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$. Solução
Dizemos que $f \subset A \times B$ é uma função se, para todo $(a, b_1), (a, b_2) \in f$, temos que $b_1 = b_2$.
A ideia na definição de função é pensar a função como o conjunto de pontos no seu “gráfico”. Isto é, dada uma função $f: A \rightarrow B$, consideramos $f$ como o conjunto $\{(a, f(a)): a \in A\}$.
4 Considere $P = $$Fn(\omega, \omega)$$ = \{f: f$ é função tal que $dom(f) \subset \omega$ é finito e $Im(f) \subset \omega\}$. Nos próximos exercícios, considere $P$ com a ordem $\supset$.
4.1 Seja $F$ um filtro sobre $P$. Mostre que $\varphi = \bigcup_{f \in F} f$ é uma função (com domínio e imagens contidos em $\omega$).Solução
4.2 Seja $n \in \omega$. Mostre que $D_n = \{f \in P: n \in dom(f)\}$ é denso em $P$.Solução
4.3 Mostre que, se $F \cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$, então $dom(\varphi)= \omega$.Solução
4.4 Seja $g: \omega \rightarrow \omega$. Mostre que $E_g = \{f \in P: f \not\subset g\}$ é denso em $P$.Solução
4.5 Seja $g: \omega \rightarrow \omega$. Suponha que $F \cap E_g \neq \emptyset$. Mostre que $\varphi \neq g$. Solução
4.6 Mostre que não existe $F$ filtro sobre $P$ tal que $F \cap D_n \neq \emptyset$ e $F \cap E_g \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$ e $g: \omega \rightarrow \omega$. Solução
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $A \subset P$ é uma anticadeia se, dados $a, b \in A$ distintos, temos que $a \bot b$.
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $P$ satisfaz ccc (countable chain condition) se toda anticadeia em $P$ é enumerável.
5 Mostre que $P$ do exercício acima é enumerável e, portanto, ccc.Dica Solução Solução Alternativa
Dado um filtro $G$ e uma família $\mathcal D$ de densos, dizemos que $G$ é $\mathcal D$-genérico se $G \cap D \neq \emptyset$ para todo $D \in \mathcal D$.
Seja $\kappa$ um cardinal. Denotamos por MA$_\kappa$ a afirmação: Dada $(P, \leq)$ uma pré-ordem ccc e dada $\mathcal D$ uma família de densos em $P$ com $|\mathcal D| \leq \kappa$, então existe $F$ filtro sobre $P$ tal que $F$ é $\mathcal D$-genérico.
6 Mostre que vale MA$_\omega$.Solução
7 Mostre que não vale MA$_{\mathfrak c}$.Solução
O Martin/axioma de; axioma de Martin (MA) é a afirmação: para todo $\kappa < \mathfrak c$ vale MA$_\kappa$.
8 Mostre que a hipótese do contínuo implica o axioma de Martin.Solução
Veja algumas aplicações interessante do axioma de Martin nesta lista.
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