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Jogo de Menger
Denotamos por $\mathsf{G}_{fin}(\mathcal A, \mathcal B)$ o seguinte jogo entre os jogadores I e II. A cada rodada $n \in \omega$, temos:
- O jogador I escolhe $\mathcal C_n \in \mathcal A$;
- O jogador II escolhe $C_n \subset \mathcal C_n$ finito.
Dizemos que o jogador II venceu o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} C_n \in \mathcal B$.
Chamamos de jogo/Menger; jogo de Menger o jogo $\mathsf{G}_{fin}(\mathcal O, \mathcal O)$ onde $\mathcal O$ é a família de todas as coberturas abertas. Ou seja, este é o jogo em que o primeiro jogador escolhe coberturas abertas e o segundo jogador escolhe subconjuntos finitos delas. No final, o segundo vence se conseguir cobrir o espaço com suas escolhas.
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço/Menger; espaço de Menger se o jogador I não tem estratégia vencedora para o jogo de Menger.
- Mostre que todo espaço compacto é um espaço de Menger.
- Mostre que todo espaço de Menger é de Lindelöf. Solução
- Mostre que todo espaço de Rothberger é um espaço de Menger.
- Dê um exemplo de um espaço de Menger que não seja de Rothberger.
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço espaço/$\sigma$-compacto; $\sigma$-compacto se existem $(K_n)_{n \in \omega}$ compactos tais que $X = \bigcup_{n \in \omega} K_n$.
- Mostre que todo espaço $\sigma$-compacto é de Menger.Solução
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