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Jogo de Rothberger
Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de jogo/ de Rothberger; jogo de Rothberger o seguinte jogo entre os jogadores I e II: A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $\mathcal C_n$ uma cobertura por abertos para $X$. Então, o jogador II escolhe $C_n \in \mathcal C_n$. Dizemos que o jogador II vence o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} C_n$ é uma cobertura para $X$. Denotamos este jogo por $G_1(O, O)$. Denotamos que I tem estratégia vencedora em tal jogo por I $\uparrow G_1(O, O)$ (analogamente para II).
1 Mostre que se $X$ é enumerável, então II $\uparrow G_1(O, O)$.Solução
2 Seja $X = \mathbb R \cup \{a\}$ (onde $a \notin \mathbb R$) com a seguinte topologia: Se $A \subset \mathbb R$, então $A$ é aberto. Se $a \in A$, então $A$ é aberto se, e somente se, $X \smallsetminus A$ é enumerável.
2.1 Mostre que isso é de fato uma topologia.Solução
2.2 Mostre que II $\uparrow G_1(O, O)$. Solução
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é um espaço/ de Lindelöf; espaço de Lindelöf se toda cobertura de $X$ por abertos admite subcobertura enumerável.
3 Mostre que se $X$ não é de Lindelöf, então I $\uparrow G_1(O, O)$.
4 Mostre que se o Jogador II tem estratégia vencedora em $G_1(O, O)$, então o Jogador II tem uma estratégia tal que, no final da partida, se $(V_n)_{n \in \omega}$ são as escolhas do Jogador II, então $\bigcup_{n \in \omega} V_{2n} = X$.Solução
5 Mostre que se o jogador II tem estratégia vencedora em $G_1(O, O)$, então o jogador II tem uma estratégia tal que, no final da partida, se $(V_n)_{n \in \omega}$ são as escolhas do jogador II, então para todo $k \in \omega$, temos que $\bigcup_{n \geq k} V_n = X$. Solução
6 Considere $\{0, 1\}^\omega$, isto é, o conjunto $\{0, 1\}$ com a topologia discreta vezes si mesmo ``$\omega$'' vezes (e usando a topologia produto). Denotamos tal conjunto por $2^\omega$.
6.1 Note que $2^\omega$ é compacto.
6.2 Note que o conjunto $V_n^k=\{(x_i)_{i \in \omega} \in 2^\omega: x_n = k\}$ é aberto para todo $k = 0, 1$ e $n \in \omega$.
6.3 Mostre que I $\uparrow G_1(O, O)$.Solução
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço de Rothberger se o jogador I não tem estratégia vencedora no jogo de Rothberger.
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