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Teorema de Tychonoff
Provavelmente você vai querer saber os resultados das listas de compactos e produtos infinitos.
Para ver uma demonstração alternativa (e mais curta) deste resultado, veja essa lista.
Seja $X$ um conjunto. Dizemos que $F \subset \wp(X)$ é um filtro sobre $X$ se
- $\emptyset \notin F$ (condição de não trivialidade);
- se $a,b \in F$, então $a \cap b \in F$;
- se $a \in F$ e $b \supset a$, então $b \in F$.
Dizemos que $F$ é um ultrafiltro se $F$ é maximal (i.e., se $G \supset F$ é um filtro, então $G = F$).
1 Seja $X$ um conjunto e seja $x \in X$ um ponto qualquer. Mostre que $F = \{A \subset X: x \in A\}$ é um ultrafiltro sobre $X$.
Dizemos que uma família $F$ de conjuntos é centrada se, para todo $A_1, \ldots, A_n \in F$, temos que $\bigcap_{i = 1}^n A_i \neq \emptyset$.
2 Seja $X$ um conjunto não vazio e seja $F$ uma família centrada de subconjuntos de $X$. Mostre que $F' = \{A \subset X: \exists A_1, \ldots, A_n \in F \ \bigcap_{i = 1}^n A_i \subset A\}$ é um filtro sobre $X$.
3 Seja $F$ um filtro. Então $F$ é um ultrafiltro sobre $X$ se, e somente se, para todo $A \subset X$ tal que $A \notin F$, temos que existe $B \in F$ tal que $A \cap B = \emptyset$.
4 Seja $F$ um filtro. Então $F$ é um ultrafiltro sobre $X$ se, e somente se, para todo $A \subset X$, temos que $A \in F$ ou $(X \smallsetminus A) \in F$.
5 Mostre que se $\mathcal F$ é uma cadeia de famílias centradas, então $\bigcup_{F \in \mathcal F} F$ também é centrada (uma família $\mathcal F$ é dita uma cadeia se, para todo $F, G \in \mathcal F$, temos que $F \subset G$ ou $G \subset F$).
6 Mostre que para todo filtro $F$ existe um ultrafiltro $G$ tal que $F \subset G$.
Sejam $X$ um espaço topológico e $F$ um filtro sobre $X$. Dizemos que $x \in X$ é um ponto aderente a $F$ se, para todo $A \in F$, $x \in \overline A$. Dizemos que $F$ converge para $x \in X$ se, para toda $V$ vizinhança de $x$, temos que $V \in F$.
7 Mostre que se um filtro $F$ converge para $x$, então $x$ é ponto aderente de $F$.
8 Mostre que se $X$ é Hausdorff e $F$ é um ultrafiltro sobre $X$, então $F$ converge para, no máximo, um ponto.Solução
9 Seja $X$ espaço topológico. Mostre que são equivalentes:Dica
- $X$ é compacto;
- todo filtro sobre $X$ tem ponto aderente;
- todo ultrafiltro sobre $X$ é convergente.
10 Seja $F$ filtro sobre $\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$.
10.1 Mostre que se $G \in F$, então $\pi^{-1}[\pi_\alpha[G]] \in F$ para todo $\alpha \in A$.
10.2 Mostre que se $F$ é ultrafiltro, então $\{\pi_\alpha[G]: G \in F\}$ é um ultrafiltro sobre $X_\alpha$ para todo $\alpha \in A$.
11 (Teorema de Tychonoff) Mostre que se cada $X_\alpha$ é compacto, então $\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$ é compacto.
12 Mostre que se $\prod_{\alpha \in X} X_\alpha \neq \emptyset$ é compacto, então cada $X_\alpha$ é compacto.
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