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Produtos infinitos
A lista de produtos é um bom aquecimento para esta.
1 Seja $X$ um conjunto e seja $T$ uma família não vazia de topologias sobre $X$. Mostre que $\bigcap_{\tau \in T} \tau$ é uma topologia sobre $X$.
Seja $X$ um conjunto e seja $\mathcal A$ uma família de subconjuntos de $X$. Definimos a topologia/gerada pela família; topologia gerada pela família $\mathcal A$ $\tau = \bigcap_{\rho \in T} \rho$ onde $T = \{\rho: \rho$ é topologia sobre $X$ e $\mathcal A \subset \rho\}$. Evite problemas: note que $T \neq \emptyset$.
2 Seja $\mathcal A$ uma família de subconjuntos de $X$ tal que $\bigcup_{A \in \mathcal A} A = X$. Considere $\tau = \{V \subset X: \forall x \in V \ \exists A_1, \ldots, A_n \in \mathcal A \ x \in A_1 \cap \cdots \cap A_n \subset V\}$
2.1 Mostre que $\tau$ é uma topologia sobre $X$.
2.2 Mostre que cada $A \in \mathcal A$ é aberto em $\tau$.
2.3 Mostre que se $\rho$ é uma topologia sobre $X$ tal que $\mathcal A \subset \rho$, então $\tau \subset \rho$.
2.4 Conclua que $\tau$ é a topologia gerada por $\mathcal A$.
3 Seja $\mathcal A$ uma família de subconjuntos de $X$ tal que $\bigcup \mathcal A = X$. Considere $\tau$ a topologia gerada por $\mathcal A$. Mostre que o conjunto $\{A_1 \cap \cdots \cap A_n: A_1, \ldots, A_n \in \mathcal A\}$ é uma base para $\tau$.
Sejam $X$ um conjunto e $(Y, \rho)$ um espaço topológico. Seja $\mathcal F$ uma família de funções da forma $f: X \rightarrow Y$. Definimos $\tau_{\mathcal F}$ a topologia gerada pela família de funções $\mathcal F$ a topologia gerada pela família $\{f^{-1}[A]: f \in \mathcal F, A \in \rho\}$.
4 Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos e seja $\mathcal F$ uma família de funções contínuas de $X$ em $Y$. Mostre que $\tau_{\mathcal F} \subset \tau$.
Seja $(X_i, \tau_i)_{i \in I}$ família de espaços topológicos. Definimos a topologia/produto; topologia produto sobre $X = \prod_{i \in I} X_i$ a topologia $\tau_{\mathcal F}$, onde $\mathcal F$ é a família de todas as projeções $\pi_i: X \rightarrow X_i$ dadas por $\pi_i((x_j)_{j \in I}) = x_i$.
5 Considere $(X_1, \tau_1)$ e $(X_2, \tau_2)$ espaços topológicos e $\pi_1$ e $\pi_2$ como acima.
5.1 Dado $A \subset X_1$, determine $\pi_1^{-1}[A]$. Solução
5.2 Dados $A \subset X_1$ e $B \subset X_2$, mostre que $A \times B = \pi_1^{-1}[A] \cap \pi_2^{-1}[B]$. Solução
5.3 Mostre que a topologia produto em $X_1 \times X_2$ como definida acima coincide com a topologia produto usual finito (vista nesta lista).
6 Mostre que $\mathcal B = \{\bigcap_{i \in F} \pi_i^{-1}[A_i]: A_i \in \tau_i$ e $F \subset I$ é finito$\}$ é uma base para a topologia produto sobre $\prod_{i \in I} X_i$. DicaSolução
7 Mostre que $\mathcal B = \{\prod_{i \in I} A_i: A_i \in \tau_i$ e $\{i \in I: A_i \neq X_i\}$ é finito$\}$ é uma base para a topologia produto sobre $\prod_{i \in I} X_i$. Solução
8 Mostre que se $I$ é finito, a definição desta lista coincide com a definição da lista de produtos.
9 Mostre que produto de espaços de Hausdorff é um espaço de Hausdorff. Solução
10 Mostre que $F_i \subset X_i$ é um fechado para cada $i \in I$, então $\prod_{i \in I} F_i$ é fechado em $\prod_{i \in I} X_i$. Vale o resultado análogo para abertos? Solução
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