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Fechados e pontos de acumulação
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $F \subset X$ é um fechado se $X \smallsetminus F$ é aberto.
1 Seja $(X, \tau)$ espaço topológico.
1.1 Mostre que $\emptyset$ e $X$ são fechados.
1.2 Mostre que, se $F$ e $G$ são fechados, então $F \cup G$ é fechado.Solução
1.3 Mostre que, se $\mathcal F$ é uma família não vazia de fechados, então $\bigcap_{F \in \mathcal F} F$ é fechado. DicaSolução
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Sejam $Y \subset X$ e $x \in X$. Dizemos que $x$ é um ponto/aderente; ponto aderente a $Y$ se, para todo aberto $A$ tal que $x \in A$, temos que $A \cap Y \neq \emptyset$.
2 Considere $\mathbb R$ com a topologia usual. Determine os pontos aderentes aos seguintes conjuntos: $[0, 1[$, $\{1\}$, $\mathbb N$ e $\mathbb Q$.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dado $Y \subset X$, denotamos por $\overline{Y}$ (o fecho de $Y$) o conjunto de todos os pontos aderentes a $Y$.
3 Mostre que $\overline A$ é fechado.Solução
4 Mostre que $A \subset \overline A$.
5 Mostre que $\overline A = \bigcap_{F \in \mathcal F} F$, onde $\mathcal F = \{F: A \subset F$ e $F$ é fechado$\}$.Solução
6 Mostre que $X \smallsetminus \overline A = \bigcup_{V \in \mathcal V} V$, onde $\mathcal V = \{V: A \cap V = \emptyset$ e $V$ é aberto$\}$ (esse é o mesmo exercício que o anterior, mas é bom para praticar complementares).
7 Mostre que, se $A \subset B$, então $\overline A \subset \overline B$.
8 Dê um exemplo de $A, B \subset \mathbb R$ tais que $A \cap B = \emptyset$ mas $\overline A \cap \overline B \neq \emptyset$.
Para o próximo exercício, você precisa saber a definição de sequência convergente, que está nesta lista.
9 Seja $A \subset X$, onde $(X, d)$ é um espaço métrico. Se $x \in \overline A$, mostre que existe $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ tal que cada $a_n \in A$ e $a_n \rightarrow x$.Solução
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Sejam $Y \subset X$ e $x \in X$. Dizemos que $x$ é um ponto/acumulação; ponto de acumulação de $Y$ se, para todo $A$ aberto tal que $x \in A$, temos que existe $y \in A \cap Y$ com $y \neq x$.
10 Mostre que todo ponto de acumulação é um ponto aderente.
11 Considere $\mathbb R$ com a topologia usual. Mostre que o conjunto $\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb N_{>0}\}$ tem apenas um ponto de acumulação.
12 Seja $A \subset X$, onde $(X, d)$ é um espaço métrico. Se $x$ é um ponto de acumulação de $A$, mostre que existe $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ tal que cada $a_n \in A$, $a_n \neq a_m$ se $n \neq m$ e $a_n \rightarrow x$.
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