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Sequências
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é uma sequência convergente para o ponto $x \in X$ se, para todo $A$ aberto tal que $x \in A$, existe $n_0$ tal que, para todo $n \geq n_0$ temos que $x_n \in A$. Neste caso, usamos a notação $x_n \rightarrow x$. Fazemos o seguinte abuso de notação: escrevemos $(x_n)_{n \in \mathbb N} \subset X$ para indicar que cada $x_n \in X$.
1 Mostre que $(\frac{1}{n + 1})_{n \in \mathbb N}$ converge para $0$ em $\mathbb R$.Solução
2 Seja $a \in X$. Mostre que a sequência $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ dada por $x_n = a$ para todo $n$ converge para $a$.
3 Sejam $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ e $x \in X$.
3.1 Mostre que são equivalentes:Solução
- $x_n \rightarrow x$
- Para todo $A$ aberto tal que $x \in A$, $\{n \in \mathbb N: x_n \notin A\}$ é finito.
3.2 Mostre que não podemos trocar a condição do item anterior por “$\{n \in \mathbb N: x_n \in A\}$ é infinito”.
4 Sejam $x, y \in X$ tais que existem $A, B$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $y \in B$. Mostre que, se $x_n \rightarrow x$, então $x_n \not \rightarrow y$. Conclua que num espaço de Hausforff (veja a definição nesta lista) uma sequência converge para, no máximo, um ponto.Solução
Seja $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ uma sequência. Chamamos de uma subsequência de $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ uma sequência da forma $(x_{n_k})_{k \in \mathbb N}$, onde $\{n_k : k \in \mathbb N\}$ é infinito e $n_p > n_k$ se $p > k$.
5 Mostre que, se $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é uma sequência convergente, então toda subsequência sua é convergente. Dê um exemplo de uma sequência não convergente que admita uma subsequência convergente.
6 Seja $f: X \rightarrow Y$ função contínua. Seja $(x_n)_{n \in \mathbb N} \subset X$ sequência convergente para $x \in X$. Mostre que $(f(x_n))_{n \in \mathbb N}$ converge para $f(x)$. DicaSolução
7 Seja $A \subset X$ e $x \in X$. Se existe $(a_n)_{n \in \mathbb N} \subset A$ tal que $a_n \rightarrow x$, então $x \in \overline A$.
8 Sejam $X$ espaço topológico e $x \in X$. Seja $\{V_n: n \in \omega\}$ base local para $x$ tal que $V_{n + 1} \subset V_n$ para todo $n$. Suponha que $(x_n)_{n \in \omega}$ seja tal que cada $x_n \in V_n$. Mostre que $x_n \to x$.
9 Seja $X$ espaço com base local enumerável para $x \in X$. Seja $A \subset X$. Mostre que, se $x \in \overline A$, então existe $(a_n)_{n \in \mathbb N} \subset A$ tal que $a_n \rightarrow x$.
10 Seja $f: X \rightarrow Y$ função, sendo que $X$ tem base local enumerável para todo $x \in X$. Mostre que, se para toda sequencia $(x_n)_{n \in \mathbb N} \subset X$ convergente para $x \in X$, temos que $(f(x_n))_{n \in \mathbb N}$ converge para $f(x)$, então $f$ é contínua.
11 Sejam $f: X \rightarrow Y$ função com $X$ e $Y$ espaços métricos. Escreva uma caracterização para a afirmação “$f$ é contínua” em termos de sequências convergentes.
12 Sejam $X$ espaço métrico e $A \subset X$. Escreva uma caracterização para $x \in \overline A$ em termos de sequências convergentes.
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