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Espaços de Lindelöf
Talvez seja melhor você ler a lista de compactos antes desta.
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço de Lindelöf se, para toda cobertura aberta $\mathcal C$ para $X$, existe $\mathcal C' \subset C$ subcobertura enumerável.
1 Mostre que todo espaço compacto é de Lindelöf.
2 Mostre que todo espaço com base enumerável é de Lindelöf.Solução
3 Dê um exemplo de um espaço de Lindelöf que não seja compacto.
4 Mostre que se $X$ é de Lindelöf e $F \subset X$ é fechado, então $F$ é de Lindelöf.
5 Mostre que se $X$ tem base enumerável, então todo subespaço seu é de Lindelöf.
6 Seja $(X, d)$ espaço métrico. Mostre que são equivalentes:
- $X$ é separável
- $X$ tem base enumerável
- $X$ é de Lindelöf
7 Mostre que, se $X$ é de Lindelöf e regular, então $X$ é normal.Dica
8 Seja $X$ espaço de Lindelöf e $K$ um espaço compacto. Mostre que $X \times K$ é de Lindelöf.
Uma boa lista para fazer depois desta é a de contraexemplos usando a Reta de Sorgenfrey.
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