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Separados por algum lado
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de boa ordem, da lista de densos e da lista de espaços de Lindelöf.
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é espaço/separado à esquerda; separado à esquerda se existe uma boa ordem sobre $X$ de maneira que, para todo $x \in X$, $\{y \in X: y < x\}$ é fechado.
1 Mostre que, para todo $X$ existe $D \subset X$ denso tal que $D$ é separado à esquerda.
2 Mostre que $X$ é hereditariamente separável se, e somente se, não existe $Y \subset X$ não enumerável e separado à esquerda.
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é espaço/separado à direita; separado à direita se existe uma boa ordem sobre $X$ de maneira que, para todo $x \in X$, $\{y \in X: y \geq x\}$ é fechado.
3 Mostre que $X$ é discreto se, e somente se, é separado à direita e à esquerda.
4 Mostre que $X$ é hereditariamente de Lindelöf se, e somente se, não existe $Y \subset X$ não enumerável e separado à direita.
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