Topologia e conjuntos em exercícios

1 Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff. Mostre que são equivalentes: Solução

1. $X$ é localmente compacto;
2. para todo $x \in X$, existe $V$ vizinhança compacta de $x$;
3. para todo $x \in X$, existe $A$ aberto tal que $x \in A$ e $\overline A$ é compacto.

2 Dê um exemplo de um espaço localmente compacto que não seja compacto.

3 Mostre que se $(X, \tau)$ é compacto e de Hausdorff, então $X$ é localmente compacto.

4 Mostre que se $(X, \tau)$ é localmente compacto e de Hausdorff, então $X$ é regular.

5 Mostre que todo localmente compacto de Lindelöf é $\sigma$-compacto (isto é, é uma união enumerável de compactos).