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Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de bases antes de fazer esta.
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos. Chamamos de topologia/produto; topologia produto a topologia sobre $X \times Y$ tal que as vizinhanças de cada ponto $(x, y) \in X \times Y$ são da forma $V \subset X \times Y$ tais que existem $A \in \tau$ e $B \in \rho$ tais que $(x, y) \in A \times B \subset V$.
Ou seja, $W \subset X \times Y$ é aberto se, e somente se, para todo $(a, b) \in W$ existem $A \in \tau$ e $B \in \rho$ tais que $(a, b) \in A \times B \subset W$.
1 Se $V$ é aberto em $X$ e $W$ é aberto em $Y$, mostre que $V \times W$ é aberto em $X \times Y$.
O exercício anterior mostra que produto de abertos é aberto. Mas não vale a volta, existem muito mais abertos - veja o próximo exercício.
2 Considere $\mathbb R$ com a topologia usual. Mostre que $\{(x, y) \in \mathbb R \times \mathbb R: x^2 + y^2 < 1\}$ é aberto.
3 Considere $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$ função dada por $\pi_X((x, y)) = x$. Mostre que $\pi_x$ é contínua.
4 Mostre que $\mathcal B = \{A \times B: A \in \tau, B \in \rho\}$ é uma base para $X \times Y$.
5 Mostre que $\mathcal B = \{\pi_X^{-1}[A] \cap \pi_Y^{-1}[B]: A \in \tau, B \in \rho\}$ é uma base para $X \times Y$.Solução
6 Mostre que se $\mathcal B$ é uma base para $X$ e $\mathcal C$ é uma base para $Y$, então $\{B \times C: B \in \mathcal B, C \in \mathcal C\}$ é uma base para $X \times Y$.
7 Seja $f: X \rightarrow Y$ função contínua. Mostre que o gráfico de $f$ (isto é, o conjunto $G = \{(x, f(x)): x \in X\}$) é fechado em $X \times Y$ se $Y$ é de Hausdorff.Solução
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