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====== Vamos derivar!======

Nas páginas anteriores calculamos a derivada de algumas poucas funções. Em seguida vamos provar algumas propriedades com as quais podemos calcular derivada de muitas outras funções.

Proposição: Sejam  $ f,g  $ duas funções diferenciáveis em  $ a  $, então

- A função  $ f+g  $ também é diferenciável no ponto  $ a   $ e  $ (f+g)^{'}(a)=f^{'}(a)+g^{'}(a).  $
  - (Regra de Leibniz) O produto  $ fg  $ também é diferenciável no ponto  $ a  $ e                                                    $ (fg)^{'}(a)= f^{'}(a)g(a) + f(a)g^{'}(a).  $
  - Se  $ g(a) \neq 0  $ e a função  $ \frac{f}{g}  $ for definida numa vizinhança do ponto  $ a  $ então

$ (\frac{f}{g})^{'}(a) = \frac{f^{'}(a)g(a) - f(a)g^{'}(a)}{g(a)^2}  $

Demonstração: A demonstração de (1) fica para o leitor.

Vamos demonstrar (2):

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(fg)(a+h) - (fg)(a)}{h} =  $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a+h) + f(a)g(a+h) - f(a)g(a)}{h}=   $

$ =  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(a+h)(f(a+h) - f(a)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a)(g(a+h) - g(a))}{h}  $

$ = g(a)f^{'}(a) + f(a)g^{'}(a).  $

Agora vamos demonstrar (3).

Já que  $ g(a) \neq 0  $ podemos achar  $ \epsilon > 0  $ tal que  $ |g(a)| > \epsilon.  $ Já provamos que a diferenciabilidade da função implica que existe um intervalo em torno de  $ a  $ tal que a função  $ g  $ não é nula. Portanto

$ \frac{\frac{f}{g}(x) - \frac{f}{g}(a)}{x-a} = \frac{f(x)g(a)- f(a)g(x)}{(x-a) g(x)g(a)}   $

$ = ((\frac{f(x)-f(a)}{x-a})g(a) - f(a)(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}) ) \times \frac{1}{g(x)g(a)} $

Agora usando o fato de que o "limite da soma é soma dos limites" concluímos o item (3).

Exemplos

Derivada de funções racionais:

Considere função polinomial  $ P(x)= a_0 + a_1x + \cdots a_n x^n.  $ Já verificamos que a derivada de  $ a_k x^k  $ é igual a  $ ka_k x^{k-1}  $ e portanto  $ P^{'}(x) = a_1 + 2a_2 x + \cdots + na_n x^{n-1}.  $

Usando (3) da proposição acima, podemos calcular a derivada de todas as funções racionais no seu domínio.

Derivada de funções trigonométricas:

Usando derivada da funções  $ Sen, Cos  $ vamos calcular a derivada de outras funções trigonométricas:

$ tg^{'}(x)=   sec^2(x) = 1 + tg^2(x)  $

$ cotg^{'}(x) = - cosec^2(x) = - (1+ cotg^2(x))  $

$ sec^{'}(x) = tg(x)sec(x)  $

$ cosec^{'}(x)= - cotg(x)cosec(x).  $

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Vamos calcular derivada da função exponencial. De fato mostramos que se  $ f(x)=e^x  $ então  $ f^{'}(x)=e^x.  $

Ou seja não podemos derivar algo nova da função exponencial!

Em geral se  $ g(x)= a^x , a > 0  $ então  $ g^{'}(x)= ln(a) g(x).  $

Para provar basta observar que

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} e^x = 1 \times e^x = e^x.  $

e também  $ a^x = e^{ln(a)x}  $ e como um exercício o leitor mostra o resultado desejado sobre derivada da função  $ a^x.  $

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Regra de cadeia

A regra de cadeia é a regra de ouro para calcular derivada de muitas funções. Uma construção fundamental na teoria de funções é a composição de duas ou mais funções. A regra de cadeia trata de derivada de composição de funções.

Teorema: Sejam  $ f: S \rightarrow \mathbb{R}, g: T \rightarrow \mathbb{R}  $ duas funções,  $ a  $ um ponto no interior de  $ S  $ e  $ f(a)  $ ni interior de  $ T  $. Se  $ f  $ e  $ g  $ forem diferenciáveis respectivamente nos pontos  $ a, f(a)  $ então  $ g \circ f  $ é diferenciável no ponto  $ a  $ e

$ (g\circ f)^{'}(a) = g^{'}(f(a)) f^{'}(a).  $

Demonstração: Observe que o domínio da função  $ g \circ f  $ é o conjunto  $ K  $ onde:

$ K= \{x \in S : f(x) \in T \}  $

Portanto para que derivada da composição no ponto  $ a  $ tenha sentido em primeiro lugar precisamos averiguar que o ponto  $ a  $ está no interior de  $ K.  $

Vamos denotar por  $ b= f(a) \in T.  $ Já que pela hipótese a função  $ g  $ é diferenciável no ponto  $ b  $ estamos assumindo que  $ b  $ está no interior do conjunto  $ T  $ e portanto existe um  $ \epsilon > 0  $ tal que  $ (b-\epsilon, b+\epsilon) \subset T.  $ Já que  $ f  $ é contínua no ponto  $ a  $ (pois é diferenciável) então existe  $ \delta> 0  $ tal que para todo  $ x: |x-a| \leq \delta  $ então  $ |f(x)-f(a)| \leq \epsilon  $ e concluímos que  $ (a - \delta, a+\delta) \subset K  $, ou seja  $ a  $ é um ponto no interior de  $ K.  $

Agora vamos provar diferenciabilidade e a fórmula da derivada da composição.  Pela diferenciábilidade de  $ f  $ existe uma função  $ R  $ que está definida num intervalo furado em torno de  $ a  $ tal que  $ \lim_{h \rightarrow 0} R(h)=0  $ e

$ f(a+h)= f(a)+ h f^{'}(a) + hR(h)  $

De uma forma similar, pela diferenciabilidade de  $ g  $ no ponto  $ b=f(a)  $ concluímos que existeoutra função (resto)  $ \sigma  $ tal que  $ \lim_{k \rightarrow 0} \sigma(k) =0   $ e

$ g(b+k)= g(b)+ k g^{'}(b) + k \sigma(k)  $

Vamos substituir  $ k=f(a+h)-f(a)  $ na equação acima

$ g(f(a+h)) - g(f(a)) = (f(a+h)-f(a))g^{'}(b) + k \sigma(k)  $

$ = (h f^{'}(a) + hR(h)) g^{'}(b) + k \sigma(k)  $

$ = h g^{'}(f(a))f^{'}(a) + hg^{'}(b)R(h) + (h f^{'}(a) + h R(h)) \sigma(k)  $

Agora basta observar que quando  $ h \rightarrow 0  $ então  $ k = f(a+h)-f(a) \rightarrow 0  $ e portanto

$ g(f(a+h)) = g(f(a)) + h g^{'}(f(a))f^{'}(a) + h \eta(h)  $

onde  $ \eta(h) = R(h)g^{'}(b) + f^{'}(a) \sigma(k) + R(h) \sigma(k)   $  e fácil ver que  $ \eta(h) \rightarrow 0  $ quando  $ h \rightarrow 0.  $

Exemplo: Calcule a derivada da função  $ h(x)= (x^2+x+1)^{10}.  $ Claro que não vamos calcular a décima potência de  $ x^2+x+1  $ antes de calcular a derivada!

Considere  $ g(x)=x^{10}, f(x)=x^2+x+1  $  e portanto

$ h(x)=g (f ( x))  $. Usando regra da cadeia teremos

$ h^{'}(x)= g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 10 (x^2+x+1)^{9} (2x+1).  $

Exercício: Calcule a derivada  $ f(x)= \sqrt[3]{\frac{cos(x)}{x-1}}  $ e para divertir mais calcule derivada de  $ f(x)=e^{e^x}  $ ou  $ f(x)= e^{x^n}  $

Exemplo: Calcule a derivada da  $ f(x)=\sqrt{x}  $. Observe que  $ f(x)^3= x  $. Vamos denotar  $ g(x)=x^3  $. Então

$ g(f(x))=x  $

agora vamos derivar dos dois lados da equação acima:  $ g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 1  $. Lembrando que  $ g^{'}(x)=3x^2  $:

$ f^{'}(x) = \frac{1}{g^{'}(f(x))} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}  $

Exemplo: Calcule a derivada da função  $ f(x)= ln(x) + 2 e^{sen(x^2)}  $

Considere  $ g(x)= ln(x), h(x)=e^x, K(x)=sen(x), L(x)=x^2, T(x)=2x  $. Então podemos escrever

$ f(x) = g(x) + T(h(K(L(x))))  $. Portanto pela "derivada da soma é soma das derivadas" temos  $ f^{'}(x) = g^{'}(x) + (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x) = \frac{1}{x} + (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x)   $ e agora usamos a regra de cadeia para obter derivada da composição das 4 funções  $ T, h, K, L  $ cujas derivadas individualmente são conhecidas.

$ (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x) = 2 (2x) cos(x^2) e^{sen(x^2)}  $

Exemplo:

A partir de agora é bom lembrar que usando regra de cadeia a derivada da dunção  $ e^{g(x)}  $ é igual a  $ g^{'}(x)e^{g(x)}  $

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