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Generalização impossível do Teorema de Ramsey
Vamos mostrar que existe uma coloração $\pi: [\omega]^\omega \to \{0, 1\}$ tal que não vale o análogo do Teorema de Ramsey. Ou seja: existe uma maneira de se colorir todos os subconjuntos infinitos de $\omega$ com duas cores, de forma que não exista $X \subset \omega$ infinito tal que todos os elementos de $[X]^\omega$ tenham a mesma cor.
Considere $(A_\beta)_{\beta < \mathfrak c}$ todos os subconjuntos infinitos de $\omega$.
1 Mostre que existem $X = \{X_\alpha: \alpha < \mathfrak c\}$ e $Y = \{Y_\alpha: \alpha < \mathfrak c\}$ famílias de conjuntos distintos tais que para todo $\beta < \mathfrak c$, $X_\beta$ e $Y_\beta \subset A_\beta$ tais que $X_\beta \notin \{Y_\alpha: \alpha \leq \beta\}$ e $Y_\beta \notin \{X_\alpha: \alpha \leq \beta\}$. Solução
2 Mostre que existe uma coloração $\pi: [\omega]^\omega \to \{0, 1\}$ de forma que não exista $X \subset \omega$ infinito tal que todos os elementos de $[X]^\omega$ tenham a mesma cor. Solução
Talvez seja interessante fazer a lista de Conjuntos de Bernstein depois dessa.
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