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Lema de Kuratowski-Zorn (usando)
O enunciado do Lema de Kuratowski-Zorn é equivalente ao princípio da boa ordem - para ver sobre isso, veja esta lista.
Seja $X$ um conjunto ordenado por $\leq$.
- $x \in X$ é um majorante para $Y \subset X$ se, para todo $y \in Y$ temos $y \leq x$;
- $C \subset X$ é uma cadeia se todos os elementos de $C$ são comparáveis entre si;
- $x \in X$ é maximal se não existe $y \in X$ tal que $x < y$.
O Lema do Kuratowski-Zorn é: Se $X$ é um conjunto ordenado não vazio tal que toda cadeia admite majorante, então $X$ admite elemento maximal.
1 Seja $X$ um conjunto não enumerável. Considere $F$ o conjunto de todas as funções injetoras com domínio finito contido em $\omega$ e contradomínio $X$. Dizemos que $f, g \in F$ são compatíveis se $f \cup g \in F$ (se esse isso é confuso para você, veja essa lista). Seja $P$ a família de todos os subconjuntos de $F$ formados por funções compatíveis entre si. Isto é $P = \{A \subset F: \forall f, g \in A$ $f$ e $g$ são compatíveis$\}$. Considere sobre $P$ a ordem da inclusão.
1.1 Note que $P \neq \emptyset$.
1.2 Mostre que se $A$ é um elemento de $P$, então $\bigcup_{f \in A} f$ é uma função injetora de domínio contido em $\omega$ e contradomínio $X$.
1.3 Mostre que se $A$ é um elemento maximal em $P$, então o domínio de $\bigcup_{f \in A} f$ é $\omega$.
1.4 Mostre que se $\mathcal C \subset P$ é uma cadeia, então $\bigcup_{C \in \mathcal C} C \in P$.
1.5 Conclua que existe uma função injetora $f: \omega \to X$.
Um dos axiomas que supomos sobre conjuntos é o princípio da boa ordem: todo conjunto admite uma boa ordem.
2 Este é um roteiro para mostrar que o Lema de Kuratowski-Zorn implica no princípio da boa ordem. A volta pode ser vista nesta lista. Seja $X$ um conjunto. Considere $P$ a família de todas as boas ordens sobre subconjuntos de $X$ - isto é, $(A, \leq) \in P$ se $\leq$ é uma boa ordem sobre $A \subset X$.
2.1 Mostre que $P \neq \emptyset$.
2.2 Dados $(A, \leq), (A', \leq') \in P$, definimos $(A, \leq) \preceq (A', \leq')$ se $A \subset A'$, $\leq'$ estende $\leq$ e, dados $a' \in A'\setminus A$ e $a \in A$, temos que $a \leq' a'$. Mostre que $\preceq$ é uma ordem sobre $P$.
2.3 Mostre que $(A, \leq) \in P$ é maximal, então $A = X$.
2.4 Seja $\mathcal C$ um cadeia em $P$. Mostre que existe uma boa ordem $\leq'$ sobre $C = \bigcup_{(A, \leq) \in \mathcal C} A$ tal que $(A, \leq) \preceq (C, \leq')$ para todo $(A, \leq) \in \mathcal C$.
2.5 Conclua que existe uma boa ordem sobre $X$.
3 Para cada $z \in \mathbb Z$, considere $(\mathbb Z_{\geq z}, \leq_z)$ onde $\leq_z$ é a restrição da ordem usual de $\mathbb Z$ em $\mathbb Z_{\geq z}$. Note que não existe uma boa ordem sobre $\mathbb Z$ tal estenda cada uma das $\leq_z$. Olhe o roteiro acima e veja o motivo da ordem lá não ser a que pareceria mais natural num primeiro momento.
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